「笔记」组合数学

组合数学

目录

• 组合数学
  • 写在前面
  • 计数原理
    • 抽屉原理
    • 容斥原理
  • 组合问题分类
  • 排列
    • 圆排列
  • 组合
  • Lucas 定理
  • 组合数学的一些思想方法
    • 插板法
  • 几个问题
    • Question 1
    • Question 2
    • Question 3
  • 组合数及其相关性质
    • $C_{n+m}^{n} = C_{n+m}^m$
    • $C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$
    • $C_{n+r+1}^{r} = C_{n+r}^{r} + C_{n + r-1}^{r-1} + ... + C_{n}^{0}$
    • $C_{n}{l}C_{l}{r} = C_{n}{r}C_{n-r}{l-r}$
    • $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n} = 2^n$
    • $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - ... = 0$
    • $C_{r}^{r} + C_{r+1}^{r} + ... + C_{n}^{r} = C_{n + 1}^{r + 1}$
    • 二项式定理

写在前面

题做不动了，来写点笔记

计数原理

抽屉原理

把 (n + 1) 件物品放入 (n) 个抽屉里，至少有一个抽屉放了 (2) 个物品

这不是很显然？

容斥原理

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。——百度百科

类似于去交集并集之类的。功能很明确，计数时没有重复没有遗漏，结合实际问题可能要复杂些，脑子不够用

组合问题分类

具体分为四种：

• 存在性问题：判断满足某种条件的情况或状态是否存在
• 计数性问题：存在多少种满足某种条件的情况或状态
• 构造性问题：如果以判断出满足某种条件的状态是存在的，那么如何构造出来
• 最优化问题：找出某种评价标准下的最佳（或较佳）构造方案

排列

(n) 个物品中选 (k) 个物品的方案数，（先后顺序不同为两种方案）

[P(n, k) = frac{n!}{(n - k)!} ]

圆排列

(n) 个物品中选 (k) 个不分首尾的围成一个圆圈

方案数为：

[frac{P(n, k)}{k} = frac{n!}{(n - k)! imes k} ]

组合

(n) 个物品中选 (k) 个，（先后顺序不同为一种方案）

定义式：

[inom{n}{m} = frac{n!}{m!(n - m)!} ]

或者

[C_n^m = frac{n!}{m!(n - m)!} ]

Lucas 定理

就是一个公式：

[C^m_n = C_{n/p}^{m/p} imes C_{n mod p}^{m mod p} ]

也可以写作：

[Lucas(n, m) = Lucas(n / p, m / p) imes C_{n mod p}^{m mod p} ]

其中 (Lucas(n, 0) = 1) ，利用这个在递归的时候返回即可

一般应用于 (n) 和 (m) 很大的时候，可以大大简化运算，但要注意 (p) 必须是质数

如果模数不是很大，可以预处理出 (1 sim mod - 1) 的阶乘和逆元进行优化

例题：P3807【模板】卢卡斯定理

组合数学的一些思想方法

插板法

一个典型的例子

把 (n) 个小球放进 (k) 个箱子里，求有多少种放法

• 空隙间必须有值的情况（每个箱子里至少有一个球）：

考虑将 (n) 个小球排成一列，每两个小球间会有一个空隙，一共有 (n - 1) 个空隙。把箱子看成板子，插入空隙里，显然只要插 (k - 1) 个板子就能把小球分成 (n) 份，所以答案为

[C_{n - 1}^{k - 1} ]

• 空隙间可以为空的情况（箱子里可以不放球）：

与上面不同的是，两个板子可以同时插在一个地方，所以相当于多了 (k) 个可以插的地方，所以答案为：

[C_{n + k - 1}^{k - 1} ]

几个问题

Question 1

有 (n) 个不同元素，选 (r) 个，可重复选，求方案数
求证： (ans = C_{n + r - 1}^{r})

思路：

设当 (n) 个元素中选 (r) 个不重复的元素时

[1 le x_1 < x_2 < ... < x_r le n ]

那么当从 (n) 个元素中选 (r) 个可重复的元素时

[1 le x_1 le x_2 le ... le x_r le n ]

设 (y_i = x_i + i - 1)

那么上式可表示为

[1 le y_1 < y_2 < y_3 < ... < y_r le n + r - 1 ]

发现与第一个不等式形式相同，所以答案类似是 (C_{n + r - 1}^{r})

因为对于每个 (x_i) 都有唯一的 (y_i) 与之对应，所以问题的答案也为 (C_{n + r - 1}^{r})

证毕。

Question 2

有 (n) 个元素，从中选 (r) 个不相邻的元素，求方案数
求证： (ans = C_{n - r + 1}^{r})

思路同 Question 1, 把 (y_i = x_i + i - 1) 改为 (y_i = x_i - i + 1)，用相同的思路去推导即可

Question 3

求

[sum_{k=1}^{n}(C_{n}^{k})^2 ]

解：

[egin{alignedat}{3} sum_{k=1}^{n}(C_n^k)^2 & = sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k} imes C_{n}^{k} \ & = sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k} imes C_{n}^{n - k} \ & = C_{2n}^{n} \ end{alignedat} ]

然后就做完了。

这样做的意义是啥？
这就是在前 (n) 个元素中选 (k) 个，在后 (n) 个元素中选 (n - k) 个（选 (k) 个和选 (n -k) 个是一个意思）的方案数

为什么 (C_{2n}^{2k}) 不对？
因为这样你无法确定在前 (n) 个元素中选择了几个，在后 (n) 个元素中选择了几个

组合数及其相关性质

(C_{n+m}^{n} = C_{n+m}^m)

实际意义：从 (n+m) 个元素中选 (n) 个元素的方案数与选 (m) 个元素 剩下 (n) 个元素的方案数相同

(C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m})

暴力推导：

[frac{(n - 1)!}{(m-1)! (n - m)!} + frac{(n - 1)!}{m! (n - m - 1)!} = frac{n!}{m!(n - m)!} ]

对左式进行通分合并就可以得到右式了

过程也很简单，在这里就不赘述了

实际意义：从 (n) 个里面选 (m) 个，对于最后一个元素，我们考虑两种情况：选或不选。如果选，那么还要在剩下的 (n - 1) 个元素中选择 (m - 1) 个元素；如果不选，那么还要在剩下的 (n - 1) 个元素中选择 (m) 个元素。
两种情况是并列的，因此把两种情况的方案数加起来即可。

其实这个式子还有另外一个名字：组合数的递推式。
也就是你可以从 (C_{1}^{1}) 采用递推的方式推到 (C_{n}^{m})
如果你把整个递推出来的三角形列出来的话，会发现这是一个杨辉三角
各位有兴趣的话可以稍微在打草纸上一划，就很容易看出

(C_{n+r+1}^{r} = C_{n+r}^{r} + C_{n + r-1}^{r-1} + ... + C_{n}^{0})

这个式子其实可以从上面那个式子进行更进一步的推导推出来

即来考虑更多的元素是否选择的情况

(C_{n}^{l}C_{l}^{r} = C_{n}^{r}C_{n-r}^{l-r})

实际意义：在 (n) 个元素中先选 (l) 个元素，再在这 (l) 个元素中选 (r) 个元素的方案 等于 在 (n) 个元素中先选 (r) 个元素，再在剩下的 (n - r) 个元素中选择 (l - r) 个元素的方案。因为两次操作是递进的（或者说有先后的），所以计算的时候是相乘的形式，也就是上面的捏个等式

(C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n} = 2^n)

含义： (n) 个元素，从中选任意个元素的方案数。

考虑对每个元素选或不选，对于每个元素都有两条路可走，所以 (n) 个元素随便选或不选的方案数为 (2^n)

另一个含义：把 (n) 个元素看做一个长度为 (n) 的 01 串，那么这个串中的 (1) 的个数对应着每种方案（或是 (0) 的个数），又因为这个 01 串能表示的数有 (0 o 2^n - 1) 共 (2^n) 个数，所以上式的方案数为 (2^n).

(C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - ... = 0)

一种理解方式：上面的式子可以看做从 (n) 个元素中选 偶数 个和选 奇数 个的方案是一样的。考虑一个新加的东西选或不选，如果选的话，肯定会由原来的 奇数个 变成 偶数个 （或者 偶数个 变成 奇数个）；如果不选的话，就不发生改变。因为两种情况是等概率出现的，因此从 (n) 个元素中选 奇数个 和选 偶数个 的方案数相同

(C_{r}^{r} + C_{r+1}^{r} + ... + C_{n}^{r} = C_{n + 1}^{r + 1})

好像和上面某个式子的推导思想一样来

二项式定理

[(x+y)^n = sum_{i = 0}^{n}C_{n}^{i} x^i y^{n-i} = sum_{i = 0}^{n}C_{n}^{i} x^{n-i} y^i ]