AtCoder ABC208 F

写在前面

昨天 ABC 的 F 题，结论推出来了，猜到是拉格朗日，奈何我只会板子，不会分析次数；

赛后知道正解后感觉大受震撼。我还是太 naive 了 /kk

前置知识

• 组合数学

• 拉格朗日插值法。

Description

原题地址

给你 (n, m, k)，定义 (f(n, m)) 为：

[displaystyle f(n, m) = egin{cases} 0 & (n = 0) ewline n^K & (n gt 0, m = 0) ewline f(n-1, m) + f(n, m-1) & (n gt 0, m gt 0) end{cases} ]

求 (f(n,m) mod 10^9+7)

数据范围：

(0 le n le 10^{18})

(0 le m le 30)

(1 le k le 2.5 imes 10^{6})

Solution

先对第一个样例搞一下。

我们用下面这个表格来算一下 (f(3,4)) 最终递归调用 (f(i,0)) 多少次

[egin{array}{c|lcr} & m = 0 & m = 1 & m = 2 & m = 3 & m = 4 \ hline n = 0 & 20 & 20 & 10 & 4 & 1\ n = 1 & 10 & 10 & 6 & 3 & 1\ n = 2 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1\ n = 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 end{array} ]

结合 (f(n, m) = f(n-1,m) + f(n, m-1) (n > 0, m > 0)) 的递归式

发现这个玩意很像平面上 ((0,0)) 到 ((n,m)) 的方案数。

而我们求的 (f(i,0)) 就对应着 ((i, 1)) 到 ((n, m)) 的方案数。

根据组合数学，可以算出 (f(i,0)) 调用了 (C_{n+m-i-1}^{m-1}) 次

又因为 (f(i,0) = i^k)

然后我们就能够用一个式子表示出答案：

[sum_{i = 0}^{n} inom{n+m-i-1}{m-1} i^k ]

根据 @GuidingStar 的说法

前缀和是 (1) 次， (inom{n+m-i-1}{m-1}) 是 (m-1) 次，(i^k) 是 (k) 次， 一共 (k+m) 次。

吾以为 之所以 (inom{n+m-i-1}{m-1}) 是 (m-1) 次，是因为这个式子约分之后分子与 (i) 相关的一共有 (m-1) 项，至于下面的 ((m-1)!) 与 (i) 无关。

我们设 (F(n) = sum_{i = 0}^{n} inom{n+m-i-1}{m-1} i^k)

这是一个 (k+m) 次多项式，我们只要找到 (k+m+1) 个点就能确定他的式子。

这里我们取 (x = 0 sim k + m) 这一段连续的区间，用暴力刷表的方法求出 ((x, F(x)))

然后利用拉格朗日插值法求解即可。

用到 (x) 取值连续时的优化，如果不会可以参考这篇博客。

总复杂度为 (O((k+m) log k))，可以通过。

Code

/*
Work by: Suzt_ilymics
Problem: 
Knowledge: 拉格朗日插值法
Time: O((k+m)log mod)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define int long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;
const int MAXN = 5e6+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;

int n, m, k, Ans = 0;
int S[MAXN], fac[MAXN], inv[MAXN], pre[MAXN], suf[MAXN];
int ans[MAXN];

int read(){
    int s = 0, f = 0;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
    return f ? -s : s;
}

int Pow(int x, int p, int mod) {
    int res = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        p >>= 1;
    }
    return res;
}

signed main()
{
    n = read(), m  =read(), k = read();
    if(!m) {
        printf("%lld
", Pow(n % mod, k, mod));
        return 0;
    }
    if(!n) {
        printf("0
");
        return 0;
    }
    ans[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= k + m; ++i) S[i] = Pow(i, k, mod);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        for(int j = 1; j <= k + m; ++j) {
            ans[j] = (ans[j - 1] + S[j]) % mod;
        }
        for(int j = 1; j <= k + m; ++j) {
            S[j] = ans[j];
        }
    }
    if(n <= k + m) {
        printf("%lld
", ans[n]);
        return 0;
    }
//    for(int i = 1; i <= k + 2; ++i) inv[i] = Pow(fac[i], mod - 2, mod);
    pre[0] = n % mod, suf[k + m + 1] = 1, fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= k + m; ++i) pre[i] = pre[i - 1] * ((n - i) % mod) % mod;
    for(int i = k + m; i >= 0; --i) suf[i] = suf[i + 1] * ((n - i) % mod) % mod;
    for(int i = 1; i <= k + m; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    for(int i = 0; i <= k + m; ++i) {
        int a = (i == 0 ? 1 : pre[i - 1]) * suf[i + 1] % mod;
        int b = fac[i] * ((k + m - i) & 1 ? -1 : 1) * fac[k + m - i] % mod;
        Ans = Ans + S[i] * a % mod * Pow(b, mod - 2, mod) % mod;
        Ans %= mod;
    }
    printf("%lld
", (Ans + mod) % mod);
    return 0;
}