通过构造迭代函数证明数列的单调性

通过构造迭代函数证明数列的单调性

通过递归公式(x_{k+1}=f(x_k))得出迭代函数(y=f(x))，然后对其在定义域内求导(如果定义域已知的话)，观察其在定义域内是否恒大于0。

1. 如果(f^{(1)}(x)gt0)恒成立

   1. 如果此时(x_2gt x_1)，根据(x_2=f(x_1))，(x_3=f(x_2))，然后结合是单调增函数可知(f(x_2)gt f(x_1))，即有(x_3 gt x_2)。根据数学归纳法不难证出({x_n})是单调递增数列；
   2. 如果此时(x_2lt x_1)，根据(x_2=f(x_1))，(x_3=f(x_2))，然后结合是单调增函数可知(f(x_2)lt f(x_1))，即有(x_3 lt x_2)。根据数学归纳法不难证出({x_n})是单调递减数列；

2. 如果存在(f^{(1)}(x)lt0)

   1. 如果此时(x_2gt x_1)，根据(x_2=f(x_1))，(x_3=f(x_2))，然后结合是单调减函数可知(f(x_2)lt f(x_1))，即有(x_3 lt x_2)。这是一个左右横跳的数列，不单调；
   2. 如果此时(x_2lt x_1)，根据(x_2=f(x_1))，(x_3=f(x_2))，然后结合是单调减函数可知(f(x_2)gt f(x_1))，即有(x_3 gt x_2)。这是一个左右横跳的数列，不单调；

张宇22数学-月度加餐-11月_数列极限
时间戳：29:55；
(YaoDeSiLiao)