迭代函数xₙ₊₁=f(xₙ)的求解问题

迭代函数求极限——递推数列求极限

1. 什么是迭代函数(套娃函数)？

   设一个函数(x_{k+1}=f(x_k))，这个函数就是一个迭代函数，({x_k})被称为迭代序列(路径)。

2. 迭代函数与数列有什么关系？

   拥有递归式的数列可以连续化为迭代函数。

3. 数形结合百般好

   一般只对定义域内单调增的函数研究，其本质问题是求解(x=f(x))，通过给定一个初始值，然后不断迭代，直到解的附近终止迭代，终止条件为(Delta xlemu)。

   

   很显然，当(Psi(x)lt x)的时候，迭代数列会越来越远离交点。但是我们不难发现，如果在下面还有一个交点，那么这个数列定会收敛至那个交点；如果初始值在交点右方，那么也只会收敛于上方的交点。这种初始点在(y=x)下方向下收敛，初始点在(y=x)上方的向上收敛的情况，一般我们戏称为贫者愈穷，富者愈富。

4. 如何对单调数列定界(小结)？

   由于贫者愈穷，富者愈富性质，所以我们就能知道收敛区间在哪了，分下面种情况讨论：

   1. 有两不同交点(A_1lt A_2)：收敛区间在((A_1，A_2))：

      1. 如果是凸函数：(【[A_1]，[A_2]】+1)，也就是将其向上取整；
      2. 如果是凹函数：(【[A_1]，[A_2]】)，也就是将其向下取整；

      【注】考虑到数归只要证明数列有界，所以我们需要简化界限，故而取整。

   2. 有两个相同的交点(A)，一般这种情况属于(y=Psi(x))与(y=x)相切，分为两种情况：

      1. 如果是(Psi(x)ge x)（凸函数）：收敛区间为((-infty，A])；
      2. 如果是(Psi(x)ge x)（凹函数）：收敛区间为([A，+infty))；

      【注】这里不对(A)取整是因为一旦超过了(A)，数列将立即发散。

   3. 只有一个交点(A)，(y=Psi(x))一般分为上穿和下穿(y=x)：

      1. 如果是上穿，则有((-infty，A])区域在下方，([A，+infty))区域在上方，永远不收敛，这时收敛区域是空集；
      2. 如果是下穿，则有((-infty，A])区域在上方，([A，+infty))区域在下方，必收敛于(A)，这时收敛区域是全集；

张宇22数学-强化阶段-第2讲_数列极限-02
时间戳：41:30；