[SinGuLaRiTy] SplayTree 伸展树

Some Method Are Reprinted From 杨思雨-《伸展树的基本操作与应用》

引言

二叉查找树（Binary Search Tree）能够支持多种动态集合操作。因此，在信息学竞赛中，二叉排序树起着非常重要的作用，它可以被用来表示有序集合、建立索引或优先队列等。作用于二叉查找树上的基本操作的时间是与树的高度成正比的。对一个含 n各节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为 O(log n)。但如果树是含n 个节点的线性链，则这些操作的最坏情况运行时间为 O(n)。而有些二叉查找树的变形，其基本操作在最坏情况下性能依然很好，比如红黑树、AVL 树等等。本文将要介绍的伸展树（Splay Tree），也是对二叉查找树的一种改进，虽然它并不能保证树一直是“平衡”的，但对于伸展树的一系列操作，我们可以证明其每一步操作的平摊复杂度都是 O(log n)。所以从某种意义上说，伸展树也是一种平衡的二叉查找树。而在各种树状数据结构中，伸展树的空间要求与编程复杂度也都是很优秀的。

伸展树的基本操作

伸展树是二叉查找树的一种改进，与二叉查找树一样，伸展树也具有有序性。即伸展树中的每一个节点 x 都满足：该节点左子树中的每一个元素都小于 x，而其右子树中的每一个元素都大于 x。与普通二叉查找树不同的是，伸展树可以自我调整，这就要依靠伸展操作 Splay(x,S)。

伸展操作 Splay(x,S)

情况一：节点 x 的父节点 y 是根节点。这时，如果 x 是 y 的左孩子，我们进行一次 Zig（右旋）操作；如果 x 是 y 的右孩子，则我们进行一次 Zag（左旋）操作。经过旋转，x 成为二叉查找树 S 的根节点，调整结束。如图 1 所示

情况二：节点 x 的父节点 y 不是根节点，y 的父节点为 z，且 x 与 y 同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zig 操作或者 Zag-Zag 操作。如图 2 所示

情况三：节点 x 的父节点 y 不是根节点，y 的父节点为 z，x 与 y 中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次 Zig-Zag 操作或者 Zag-Zig 操作。如图 3 所示

如图 4 所示，执行 Splay(1,S)，我们将元素 1 调整到了伸展树 S 的根部。再执行 Splay(2,S)，如图 5 所示，我们从直观上可以看出在经过调整后，伸展树比原来“平衡”了许多。而伸展操作的过程并不复杂，只需要根据情况进行旋转就可以了，而三种旋转都是由基本得左旋和右旋组成的，实现较为简单。

伸展树的基本操作

(1)查找操作

Find(x,S)：判断元素 x 是否在伸展树 S 表示的有序集中。首先，与在二叉查找树中的查找操作一样，在伸展树中查找元素 x。如果 x在树中，则再执行 Splay(x,S)调整伸展树。

基本查找

另一个查找（查找标号）

查找K小值的标号

查找前驱

查找后驱

(2)插入操作

也与处理普通的二叉查找树一样，将 x 插入到伸展树 S 中的相应位置上，再执行 Splay(x,S)。

我们把刚好比插入点大的点作为根，在左子树插入。如果根小于插入点，则要将根的后继变成根（！！！注意不是根的右儿子！！！）

(3)删除操作

将元素 x 从伸展树 S 所表示的有序集中删除。首先，用在二叉查找树中查找元素的方法找到 x 的位置。如果 x 没有孩子或只有一个孩子，那么直接将 x 删去，并通过 Splay 操作，将 x 节点的父节点调整到伸展树的根节点处。否则，则向下查找 x 的后继 y，用 y 替代 x 的位置，最后执行 Splay(y,S)，将 y 调整为伸展树的根。

(4)Join(S1,S2)：

将两个伸展树 S1 与 S2 合并成为一个伸展树。其中 S1 的所有元素都小于 S2 的所有元素。

首先，我们找到伸展树 S1 中最大的一个元素 x，再通过 Splay(x,S1)将 x 调整到伸展树 S1 的根。然后再将 S2 作为 x 节点的右子树。这样，就得到了新的伸展树 S。如图 6 所示

(5)Split(x,S)：

以 x 为界，将伸展树 S 分离为两棵伸展树 S1 和 S2，其中 S1中所有元素都小于 x，S2 中的所有元素都大于 x。首先执行 Find(x,S)，将元素 x 调整为伸展树的根节点，则 x 的左子树就是S1，而右子树为 S2。如图 7 所示

(6)Splay操作

splay是基本操作，rotate是splay的基本操作。splay(now,root)把now splay到root的下面。单旋和双旋就不说了。我们可以简化操作，如果是一字型（方向相同）则先旋father，否则先旋now。然后再旋now。

rotate now是指将now绕father rotate。有两个方向，表示now是father的左儿子还是右儿子。

Splay：

Rotate：

Insert：

时间复杂度

由以上这些操作的实现过程可以看出，它们的时间效率完全取决于 Splay 操作的时间复杂度。下面，我们就用会计方法来分析 Splay 操作的平摊复杂度。首先，我们定义一些符号：S(x)表示以节点 x 为根的子树。|S|表示伸展树 S的节点个数。令μ(S) = [ log|S| ]，μ(x)=μ(S(x))。如图 8 所示

我们用 1 元钱表示单位代价（这里我们将对于某个点访问和旋转看作一个单位时间的代价）。定义伸展树不变量：在任意时刻，伸展树中的任意节点 x 都至少有μ(x)元的存款。

(1)为使用的时间付费。也就是每一次单位时间的操作，我们要支付 1 元钱。

(2)当伸展树的形状调整时，我们需要加入一些钱或者重新分配原来树中每个节点的存款，以保持不变量继续成立。

每一次Splay(x,S)操作中，调整树的结构与保持伸展树不变量的总花费不超过3u(S)+1.

证明：用μ(x)和μ’(x)分别表示在进行一次 Zig、Zig-Zig 或 Zig-Zag 操作前后节点 x 处的存款。

我们进行 Zig 或者 Zag 操作时，为了保持伸展树不变量继续成立，我们需要花费：

此外我们花费另外 1 元钱用来支付访问、旋转的基本操作。因此，一次 Zig 或 Zag 操作的花费至多为 3(μ(S) -μ(x))。

我们进行 Zig-Zig 操作时，为了保持伸展树不变量，我们需要花费：

μ’(x) +μ’(y) +μ’(z) -μ(x) -μ(y) -μ(z) = μ’(y) +μ’(z) -μ(x) -μ(y)

与上种情况一样，我们也需要花费另外的 1 元钱来支付单位时间的操作。

当μ’(x) <μ(x) 时，显然 2 (μ’(x) -μ(x)) +1 ≤ 3 (μ’(x) -μ(x))。也就是进行Zig-Zig 操作的花费不超过 3 (μ’(x) -μ(x))。

当μ’(x) =μ(x) 时，我们可以证明μ’(x) +μ’(y) + μ’(z) <μ(x) +μ(y) +μ(z)，也就是说我们不需要任何花费保持伸展树不变量，并且可以得到退回来的钱，用其中的 1 元支付访问、旋转等操作的费用。为了证明这一点，我们假设μ’(x) +μ’(y)+ μ’(z) >μ(x) +μ(y) +μ(z)。

联系图 9，我们有μ(x) =μ’(x) =μ(z)。那么，显然μ(x) =μ(y) =μ(z)。于是，可以得出μ(x) =μ’(z) =μ(z)。令 a = 1 + |A| + |B|，b = 1 + |C| + |D|，那么就有

①与②矛盾，所以我们可以得到μ’(x) =μ(x) 时，Zig-Zig 操作不需要任何花费，显然也不超过 3 (μ’(x) -μ(x))。

情况三：与情况二类似，我们可以证明，每次 Zig-Zag 操作的花费也不超过3 (μ’(x) -μ(x))。

以上三种情况说明，Zig 操作花费最多为 3(μ(S)-μ(x))+1，Zig-Zig 或 Zig-Zag操作最多花费 3(μ’(x)-μ(x))。那么将旋转操作的花费依次累加，则一次 Splay(x,S)操作的费用就不会超过 3μ(S)+1。也就是说对于伸展树的各种以 Splay 操作为基础的基本操作的平摊复杂度，都是 O(log n)。所以说，伸展树是一种时间效率非常优秀的数据结构。

总结

(1)时间复杂度低，伸展树的各种基本操作的平摊复杂度都是 O(log n)的。在树状数据结构中，无疑是非常优秀的。

(2)空间要求不高。与红黑树需要记录每个节点的颜色、AVL 树需要记录平衡因子不同，伸展树不需要记录任何信息以保持树的平衡。

(3)算法简单，编程容易。伸展树的基本操作都是以 Splay 操作为基础的，而Splay 操作中只需根据当前节点的位置进行旋转操作即可。虽然伸展树算法与 AVL 树在时间复杂度上相差不多，甚至有时候会比 AVL树慢一些，但伸展树的编程复杂度大大低于 AVL 树。在竞赛中，使用伸展树在编程和调试中都更有优势。

样例输入

样例输出

提示

结果说明：5+|1-5|+|2-1|+|5-5|+|4-5|+|6-5|=5+4+1+0+1+1=12

STD Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define INF 10000000
int ch[MAXN][2],fa[MAXN],sale[MAXN];
int ans,tot,root;
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
void rotato(int x)
{
    if(x==0||fa[x]==0)return;
    int y=fa[x],z=fa[y];
    bool flag=(ch[y][1]==x);
    ch[y][flag]=ch[x][!flag];
    if(ch[x][!flag])fa[ch[x][!flag]]=y;
    ch[x][!flag]=y;
    fa[y]=x;
    fa[x]=z;
    if(z)ch[z][ch[z][1]==y]=x;
}
void splay(int x,int goal)
{
    for(int y;(y=fa[x])!=goal;rotato(x))
    {
        int z;
        if((z=fa[y])!=goal)
        {
            if((ch[z][1]==y)==(ch[y][1]==x))
                rotato(y);
            else rotato(x);
        }
    }
    if(goal==0)root=x;
}
int insert(int &r,int x,int f)
{
    int temp1,temp2;
    if(r==0)
    {
    sale[++tot]=x;
    r=tot;
    fa[r]=f;
    splay(r,0);
    return INF;
    }
    if(x==sale[r])
        return 0;
    else if(x<sale[r])
    {
        temp1=sale[r]-x;
        temp2=insert(ch[r][0],x,r);
        return min(temp1,temp2);
    }
    else 
    {temp1=x-sale[r];
     temp2=insert(ch[r][1],x,r);
     return min(temp1,temp2);
    }
}
int main()
{
    int n,t;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&t);
        if(i)ans+=insert(root,t,0);
            else {ans=t;
                insert(root,t,0);
            }
    }
    printf("%d
",ans);
}

	顺序查找	线段树	AVL树	伸展树
时间复杂度	O(n^2)	O(nlog a)	O(nlog n)	O(nlog n)
空间复杂度	O(n)	O(a)	O(n)	O(n)
编程复杂度	简单	较简单	复杂	较简单

[SinGuLaRiTy] SplayTree 伸展树

引言

伸展树的基本操作

伸展操作 Splay(x,S)

伸展树的基本操作

(1)查找操作

基本查找

另一个查找（查找标号）

查找K小值的标号

查找前驱

查找后驱

(2)插入操作

(3)删除操作

(4)Join(S1,S2)：

(5)Split(x,S)：

(6)Splay操作

Splay：

Rotate：

Insert：

时间复杂度

总结

相关题目

Play with Chain

Problem Description

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Output

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营业额统计

题目描述

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样例输出

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STD Code