POJ 3855 计算几何·多边形重心

思路：

多边形面积->任选一个点，把多边形拆成三角，叉积一下

三角形重心->(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3

多边形重心公式题目中有，套一下就好了

计算多边形重心方法：

（1）划分多边形为三角形：
以多边形的一个顶点V为源点（V可取输入的第一个顶点），作连结V与所有非相邻顶点的线段，即将原N边形或分为（N-2）个三角形；
（2）求每个三角形的重心和面积：
设某个三角形的重心为G（cx，cy），顶点坐标分别为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），则有cx = (x1 + x2 + x3)/3.同理求得cy。求面积的方法是s =  ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1) ) / 2，当A1,A2,A3顺时针排列时取-，否则取正（此定理不证）。事实上，在求每个三角形时不需要辨别正负，之后有方法抵消负号，见下述。
（3）求原多边形的重心：
公式：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / ∑s[i];  cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / ∑s[i];其中（cx[i], cy[i]）, s[i]分别是所划分的第i个三角形的重心坐标和面积。由题“ connect the points in the given order”知每个s[i]的正负号相同，故而∑ cx[i]*s[i]能与∑s[i]消号，所以根本不需要在第（2）步判断每个s[i]的正负。另外，在（2）中求每个重心坐标时要除以3，实际上不需要在求每个三角形坐标时都除以3，只需要求出∑ cx[i]*s[i]后一次性除以3即可。即是多边形重心坐标变为：cx = (∑ cx[i]*s[i]) / （3*∑s[i]）;  cy = (∑ cy[i]*s[i] ) / （3*∑s[i]）;

https://blog.csdn.net/nhl19961226/article/details/68941585

//By SiriusRen
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,cases;double S,ts;
struct P{double x,y;}p[105],ans;
P operator-(P a,P b){P c;c.x=a.x-b.x,c.y=a.y-b.y;return c;}
double operator*(P a,P b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        S=ans.x=ans.y=0;
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        for(int i=0;i<n;i++){
            ts=p[i]*p[(i+1)%n];S+=ts;
            ans.x+=ts*(p[i].x+p[(i+1)%n].x)/3;
            ans.y+=ts*(p[i].y+p[(i+1)%n].y)/3;
        }printf("Stage #%d: %lf %lf
",++cases,ans.x/S,ans.y/S);
    }
}