矩阵运算：
(A imes B)叫做(A)左乘(B)，或者(B)右乘(A)。
行列式性质：
(1.)交换矩阵的两行（列），行列式取相反数。
(2.)某一行元素都( imes k)，行列式值也( imes k)。
(3.)某一行加到另一行上，行列式值不变。
(4.)矩阵某两行（列）元素分别成比例，行列式值为(0)。
(5.A+B=CRightarrow|A|+|B|=|C|)。
(6.)矩阵与转置矩阵行列式相等。
对于方阵而言：
(7.|A^ au|=|A|)
(8.|AB|=|A||B|)
矩阵的转置：
(1.(A^ au)^ au=A)
(2.(A+B)^ au=A^ au+B^ au)
(3.(lambda A)^ au=lambda A^ au)
(4.(AB)^ au=B^ au A^ au)
余子式：
(n)阶矩阵的余子式(M_{ij}=)矩阵(A)去掉第(i)行第(j)列的(n-1)阶矩阵行列式。
代数余子式(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij})。
伴随矩阵：
矩阵(A^*)的各项元素(a_{ij}=)矩阵(A)的代数余子式(A_{ij})，那么称(A^*)是(A)的伴随矩阵，记作(A^*)。
逆矩阵：
(1.)矩阵(A)可逆 等价于 (|A|
e 0)
(2.A^{-1}=frac 1 {|A|}A^*)（求伴随矩阵的(Gauss)算法）
矩阵的秩：
(k)阶子式：选(k)行(k)列，把交点元素按顺序组成(k)阶矩阵。
非零子式：没有零行的子式。
行阶梯矩阵：每一行首非零元素都在上一行非零元素的右面，列阶梯矩阵同理。
最简形矩阵：行首非零元素为(0)的行阶梯矩阵。
矩阵的秩:(R(A)=A)的最高阶非零子式的阶数，也是通过矩阵的初等变换（(Gauss)）把(A)变成行阶梯矩阵（或最简形矩阵）后的非零行个数。
向量的旋转与矩阵：
把向量表示成列矩阵(left(egin{matrix}x\yend{matrix}
ight))，逆时针旋转向量( heta)角就是矩阵(left(egin{matrix}cos heta&-sin heta\sin heta&cos hetaend{matrix}
ight))左乘向量列矩阵，另有(left(egin{matrix}cos heta&-sin heta\sin heta&cos hetaend{matrix}
ight)^n)=(left(egin{matrix}cos~n heta&-sin~n heta\sin~n heta&cos~n hetaend{matrix}
ight))。
模板：
实数高斯消元：
int gauss_float(){
for(int i=1;i<=n;i++){
bj=0;
for(int j=i;j<=n;j++)
if(fabs(a[j][i])>eps){bj=j;break;}
if(bj==0) return 0;
for(int j=i;j<=n+1;j++) swap(a[bj][j],a[i][j]);
for(int j=i+1;j<=n;j++){
double d=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)
a[j][k]=a[j][k]*d-a[i][k];
}
}
for(int i=n;i>=1;i--){
ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
for(int j=1;j<i;j++) a[j][n+1]-=a[j][i]*ans[i];
}
return 1;
}
行列式： 如果没有mod，把%mod去掉即可。
int determinant(){
dete=1;
for(int i=1;i<=tot;i++){
for(int j=i+1;j<=tot;j++){
while(a[j][i]){
long long t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=tot;k++){
a[i][k]=((a[i][k]-a[j][k]*t%mod)%mod+mod)%mod;
swap(a[i][k],a[j][k]);
}
dete=((-dete)%mod+mod)%mod;
}
}
if(a[i][i]==0) return 0;
dete=((dete*a[i][i])%mod+mod)%mod;
}
return 1;
}
矩阵求逆：
int matrix_inv(){
for(int i=1;i<=n;i++){
bj=0;
for(int j=i;j<=n;j++)
if(a[j][i]!=0){bj=j;break;}
if(bj==0) return 0;
for(int j=i;j<=n+n;j++) swap(a[bj][j],a[i][j]);
long long INV=qpow(a[i][i],mod-2);
for(int j=i;j<=n+n;j++) a[i][j]=a[i][j]*INV%mod;
for(int k=1;k<=n;k++){
if(k==i) continue;
for(int j=i+1;j<=n+n;j++)
a[k][j]=((a[k][j]-a[k][i]*a[i][j]%mod)%mod+mod)%mod;
a[k][i]=0;
}
}
return 1;
}
矩阵树定理：
无向图：（度数矩阵-邻接矩阵）去掉任意一行任意一列的行列式=该无向图的生成树个数。
有向图：（入度矩阵-邻接矩阵）去掉i行i列的行列式=以i为根（出发点）的外向树形图。
(~~~~~~~~~~~~~)（出度矩阵-邻接矩阵）去掉i行i列的行列式=以i为根（到达点）的内向树形图。