Luogu 随机数生成器

随机数生成器

sol 研发了一个神奇的随机数系统，可以自动按照环境噪音生成真·随机数。

现在 sol 打算生成 (n) 个 ([1,x]) 的整数 (a_1, ..., a_n)，然后进行一些询问。(q) 次询问，每次询问 (i) 有两个参数 (l_i) 和 (r_i)，sol 会计算 (min_{l_i leq j leq r_i} a_j)（(a) 数组中下标在 (l_i, r_i) 之间的数的最小值）。

最后测试结果会是这些询问得到的结果的最大值。

sol 进行了很多次实验，现在他想问问你测试结果的期望大小是多少，对 (666623333) 取模。

(n,x,qle 2000)

( m Sol:)

将期望转为 (sum P(Xge x))，枚举 (x)，那么对于 (<x) 的数我们设为 (0)，大于的设为 (1)，问题等价于求方案数使得至少存在一个区间全 (1)

将每个区间规定在右端点，我们 Dp 出不存在一个区间全 (1) 的概率，这个条件又等价于区间内至少有一个 (0)，设 (f_{i,j}) 表示考虑到位置 (i)，离 (i) 最近的 (0) 位置为 (j) 的方案数，那么我们枚举 (i) 处的区间，然后将小于的 (j) 清 (0) 即可。

转移显然仅分为两种：

1. 转移到 (f_{i,i})，此时 (i) 处填 (0)
2. 转移到 (f_{i,j})，此时 (i) 处填 (1)

前者我们单独转移，后者的转移我们可以考虑通过双指针来维护。通过双指针将非法区间清 (0)，然后填入 (1) 等价于区间乘以一个数，注意到是整体乘法，我们不妨打一个乘法标记，然后每次加入数的时候给其除以此值即可。

复杂度为 (mathcal O((n+q)x))