CF1305G

CF1305G [* hard]

给定 (n) 个数 (a_i)，并生成图 (G)

对于 ((i,j))，若 (a_i~ extrm{and}~ a_j=0)，那么连接 (i o j)

现在每个点都要被加入集合 (S)，有两种方式加入集合：

1. 直接加入集合 (S)，贡献为 (0)
2. 对于 (u)，选择这个与这个点有边的点 (v)，然后将 (u) 加入集合，贡献为 (a_v)

最大化贡献。

(nle 2 imes 10^5,a_iin [0,2 imes 10^5])

Solution

神仙题...我完全没想到点子上。

考虑建一张图，对于 ((i,j)) 若 (a_i ~mathbf{and}~a_j=0) 就连边 (i o j)

同时我们加入一个点权值为 (0)

然后我们让每条边的权值为 (a_i+a_j)

不难发现答案是边权和减去点权和。

于是从大到小枚举 (a_i+a_j=w)，然后枚举 (w) 的子集 (x)，连接 (x) 和 (woplus w) 即可。

复杂度 (mathcal O(3^{18} imes alpha))

可以考虑 B 开头的生成树算法，每次在一个连通块选一个最大出边连出去，然后可以证明合并次数不超过 (log) 次。

于是对每个元素保留最大出边即可，这个等价于满足为其取反子集的最大值，可以用 dp 算。

每轮都做一次这个 dp 即可，复杂度 (mathcal O(2^{18}log(w) alpha(w)))