- 有 (n) 个人， 第 (i) 个人有 (a_i) 个饼干。
- 每次随机选择一个饼干， 将其随机分配给除了它现在所有者的其他 (n-1) 个人。
- 求使得一个人拥有所有饼干的期望步数，对 (998244353) 取模。
(nle 10^5,sum a_ile 3cdot 10^5)
( m Sol:)
这道题好像非常仙。感觉没法做。
设 (P_x) 表示最后饼干停留在 (x) 人上的概率。
设 (E_x) 表示第一次所有饼干停留在 (x) 上的期望步数乘以概率。
设 (E_x') 表示当且仅当饼干停留在 (x) 上游戏才结束此意义下的期望。
那么有：
[sum P_x=1
]
答案为：
[sum E_x
]
设 (C) 为将全部饼干由一个人手中转移到另一个人手中的期望步数，那么我们有恒等式：
[E_x'=E_x+sum_{i
e x} (E_i+P_icdot C)
]
表示最终停留在 (E_x') 的概率有且仅有：
- 直接停留在 (x) 处
- 停留在 (i) 处，然后转移到 (x) 处。
- 注意到 (E_i) 附带了概率，所以仅有 (C) 要乘以 (P_i)
所以我们有：
[E_x=E_x'-sum_{i
e x}(E_i+P_icdot C)
]
所求为：
[egin{aligned}
&sum E_x
\&=sum igg(E_x'-sum_{i
e x}(E_i+P_icdot C)igg)
\&=sum E_x' -(n-1)sum E_i-(n-1)sum P_icdot C
end{aligned}]
所以我们得到：
[ncdot sum E_x=sum E_x'-(n-1)cdot Csum P_i
]
注意到 (sum P_i=1)，设 (A=sum E_x')，那么所求为：
[frac{A-(n-1)cdot C}{n}
]
于是我们只需要求解 (E_x') 与 (C)
设 (f_i) 表示当前有 (i) 个饼干在目标人手上期望需要多少步才能得到 (i+1) 个饼干，(m) 为饼干总数。
得到转移：
对于 (m>ige 1)：
[f_i=1+frac{i}{m}(f_{i-1}+f_i)+frac{m-i}{m} imes frac{n-2}{n-1}f_i
]
[(1-frac{i}{m}-frac{m-i}{m}cdot frac{n-2}{n-1})f_i=1+frac{i}{m}f_{i-1}
]
对于 (i=0)：
[f_0=1+frac{n-2}{n-1}f_0 o f_0=n-1
]
于是对于 (E_x')，我们容易得到其为 (sum_{ige x} f_i)，同时 (f_i) 可以直接递推。
同时，显然有 (C=sum_{ige 0} f_i)