CF708E Student's Camp [* easy]
有一个 (n imes m) 的矩形。
每天两种操作，持续 (k) 天：
- 所有最左边的方块有 (p) 的概率消失。
- 所有最右边的方块有 (p) 的概率消失。
然后我们在最顶部和最底部增加一层，如果某个时刻，此图分成了两个联通分量，那么就 GG。
求不 GG 的概率。答案对 (10^9+7) 取模。
(n,mle 1500,kle 10^5)
Solution
考虑给每一行确定一个区间，合法当且仅当每个区间都和上一个区间相交。
设 (f_{i,l,r}) 表示考虑到第 (i) 行，区间为 ([l,r]) 的概率和，由于 ([l,r]) 的长度大于等于 (1)，所以这件事发生的概率可以视为左边走到 (l)，右边走到 (r) 的概率的乘积，即 (p_l imes p_r)
考虑转移，形如：
[f_{i,l,r}=p_lp_r imes sum f_{i-1,l',r'}([l',r']land [l,r])
]
这样难以优化，考虑减去不相交的区间，那么后者只关乎区间的 (r) 端点，设 (F_{i,R}=sum f_{i,l,r}[rle R],G_{i,L}=sum f_{i,l,r}[lge L])
不难得到：
[f_{i,l,r}=p_lp_r(sum f-F_{i-1,l-1}-G_{i-1,r+1})
]
然而复杂度还是太高了，考虑直接转移 (g_{i,r'}=sum f_{i,l,r}[r=r'])，那么就有：
[g_{i,r}=p_r(sum p_l(sum f-F_{i-1,l-1}-G_{i-1,r+1}))
]
[g_{i,r}=p_r(sum p_l)(sum f-G_{i-1,r+1})-p_rsum p_lF_{i-1,l-1}
]
[f_{i,l}=p_l(sum p_r)(sum f-F_{i-1,l-1})-p_lsum p_rG_{i-1,r+1}
]
然后就可以算 (G) 了，类似处理 (F) 即可。
复杂度 (mathcal O(nm))
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define Next( i, x ) for( register int i = head[x]; i; i = e[i].next )
#define rep( i, s, t ) for( register int i = (s); i <= (t); ++ i )
#define drep( i, s, t ) for( register int i = (t); i >= (s); -- i )
#define re register
#define int long long
int gi() {
char cc = getchar() ; int cn = 0, flus = 1 ;
while( cc < '0' || cc > '9' ) { if( cc == '-' ) flus = - flus ; cc = getchar() ; }
while( cc >= '0' && cc <= '9' ) cn = cn * 10 + cc - '0', cc = getchar() ;
return cn * flus ;
}
const int P = 1e9 + 7 ;
const int N = 1500 + 5 ;
const int M = 1e5 + 5 ;
int n, m, p, ip, t, h[N], H[N], F[N][N], G[N][N] ;
int f[N][N], g[N][N], pl[N], pr[N], fac[M], inv[M] ;
int fpow(int x, int k) {
if( k < 0 ) return 0 ;
int ans = 1, base = x ;
while(k) {
if(k & 1) ans = 1ll * ans * base % P ;
base = 1ll * base * base % P, k >>= 1 ;
} return ans ;
}
int C(int x, int y) {
if(y > x || x < 0 || y < 0) return 0 ;
return fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P ;
}
signed main()
{
n = gi(), m = gi() ; int x, y ;
x = gi(), y = gi(), p = x * fpow(y, P - 2) % P,
t = gi(), fac[0] = inv[0] = 1, ip = (1 - p + P) % P ;
rep( i, 1, t ) fac[i] = fac[i - 1] * i % P, inv[i] = fpow(fac[i], P - 2) ;
rep( i, 1, m )
pl[i] = C(t, i - 1) * fpow(p, i - 1) % P * fpow(ip, t - (i - 1)) % P,
pr[i] = C(t, m - i) * fpow(p, m - i) % P * fpow(ip, t - (m - i)) % P ;
H[0] = 1 ;
rep( i, 1, n ) {
int k = H[i - 1], d = 0, df = 0 ;
rep( r, 1, m ) {
d = (d + pl[r]) % P, df = (df + pl[r] * G[i - 1][r - 1]) % P,
g[i][r] = pr[r] * d % P * (k - F[i - 1][r + 1] + P) % P,
g[i][r] = (g[i][r] - pr[r] * df % P + P) % P ; //1/8
//1/8
}
d = 0, df = 0 ;
for(re int l = m; l >= 1; -- l ) {
d = (d + pr[l]) % P, df = (df + pr[l] * F[i - 1][l + 1]) % P,
f[i][l] = pl[l] * d % P * (k - G[i - 1][l - 1] + P) % P,
f[i][l] = (f[i][l] - pl[l] * df % P + P) % P ;
}
rep( r, 1, m ) G[i][r] = (G[i][r - 1] + g[i][r]) % P ;
drep( l, 1, m ) F[i][l] = (F[i][l + 1] + f[i][l]) % P ;
H[i] = G[i][m] ;
}
cout << H[n] << endl ;
return 0 ;
}