UOJ449. 【集训队作业2018】喂鸽子
AGC038E 弱化版？
Solution
先 (min-max) 容斥，现在问题是计算 (mathbb{E}(min S))，首先我们知道集合的大小是无关的，设集合大小为 (i) 我们期望 (frac{n}{i}) 次选中此集合。
接下来只需要计算期望抽多少次有一个到达 (k) 可以转换为求 (sum P(Xge i))，对于某个 (i) 问题等价于给每个元素分配一个次数使得均小于 (k)，此时我们相当于计算 (sum (sum [i<k]frac{x^i}{i!})^m[x^n]cdot n!cdot (frac{1}{m})^n) 的各个系数之和然后乘以 (frac{n}{i}) 即为期望次数了。
暴力计算 EGF 卷积只能得到 (mathcal O((nk)^2)) 的做法。
使用 NTT 优化可以做到 (mathcal O(n^2klog (nk)))
更进一步，万事不决就求导：
[(F(x)^i)'=i imes F(x)^{i-1} imes F'(x)
]
注意到 (F'(x)=sum frac{x^i}{i!}[i<k]=F(x)-frac{x^k}{k!})（方便起见给 (k) 先减了 (1)）
于是得到：
[egin{aligned}
&(F(x)^j)'=j imes F(x)^{j-1} imes (F(x)-frac{x^k}{k!})
\&j imes F(x)^j-(F(x)^j)'=jF(x)^{j-1}frac{x^k}{k!}
end{aligned}]
后者是多项式卷单项式，预处理得到 (G(x))，于是我们得到 (j imes f_i-f_{i+1}(i+1)=jcdot g_i)，所以得到 (f_{i+1}=(f_i-g_i) imesfrac{j}{(i+1)})
于是可以 (mathcal O(n^2k)) 的解决此题。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define Next( i, x ) for( register int i = head[x]; i; i = e[i].next )
#define rep( i, s, t ) for( register int i = (s); i <= (t); ++ i )
#define drep( i, s, t ) for( register int i = (t); i >= (s); -- i )
#define re register
#define mp make_pair
#define pi pair<int, int>
#define pb push_back
#define vi vector<int>
#define int long long
int gi() {
char cc = getchar() ; int cn = 0, flus = 1 ;
while( cc < '0' || cc > '9' ) { if( cc == '-' ) flus = - flus ; cc = getchar() ; }
while( cc >= '0' && cc <= '9' ) cn = cn * 10 + cc - '0', cc = getchar() ;
return cn * flus ;
}
const int P = 998244353 ;
const int N = 5e4 + 5 ;
int fpow(int x, int k) {
int ans = 1, base = x ;
while(k) {
if(k & 1) ans = 1ll * ans * base % P ;
base = 1ll * base * base % P, k >>= 1 ;
} return ans ;
}
int n, K, S, inv[N], fac[N], ifac[N], f[N], g[N], bef[N] ;
int C(int x, int y) {
return fac[x] * ifac[y] % P * ifac[x - y] % P ;
}
signed main()
{
n = gi(), K = gi() - 1, S = n * K, fac[0] = 1 ;
rep( i, 1, max( n, S ) ) inv[i] = fpow( i, P - 2 ), fac[i] = fac[i - 1] * i % P ;
rep( i, 0, max( n, S ) ) ifac[i] = fpow( fac[i], P - 2 ) ;
f[0] = 1 ; int Ans = 0 ;
for(re int i = 1; i <= n; ++ i) {
rep( j, 0, S ) bef[j] = g[j], g[j] = 0 ;
rep( j, K, S ) g[j] = f[j - K] * ifac[K] % P ;
f[0] = 1 ;
rep( j, 1, S ) f[j] = (f[j - 1] % P - g[j - 1] + P) * inv[j] % P * i % P ;
int p = inv[i], d = n * inv[i] % P, ans = 0 ;
for(re int j = 0; j <= S; ++ j)
ans = (ans + fac[j] * d % P * f[j]) % P, d = d * p % P ;
Ans = (Ans + C(n, i) % P * ((i & 1) ? 1 : P - 1) % P * ans % P) % P ;
}
cout << Ans << endl ;
return 0 ;
}