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  • Codeforces.662C.Binary Table(状压 FWT)

    题目链接

    (Description)

    给定一个(n imes m)(01)矩阵,你可以选择一些行和一些列并将其中所有的(01)反转。求操作后最少剩下多少个(1)
    (nleq20,mleq10^5)

    (Solution)

    (n)这么小,要想到一是可以状压状态,二是可以枚举选了哪些行。
    发现在确定了选哪些行之后,每一列的选择是确定的(取变与不变后得到的状态中(1)较少的那个)。
    那么假设(y)为这一列的最终状态(可以状压表示出来),则这一列的答案为(B[y]=min(y中0的个数,y中1的个数))(B[y])可以预处理得到)。而使列的状态由(x)变为(y),所需要反转的行为(x mathbb{xor} y)
    状态相同的列显然可以合并。不妨令(A[x])表示状态为(x)的列的个数。
    那么假设最终选择反转的行为(s),则(ans_s=sum_{x mathbb{xor} y=s}A[x] imes B[y])
    异或卷积,(FWT)就行了。
    复杂度(O(2^nlog 2^n)=O(2^nn))
    另外运算时显然不会爆int。(FWT)时会爆int,但是开longlong就行了不需要取模。

    //124ms	16900KB
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <algorithm>
    #define gc() getchar()
    #define MAXIN 50000
    //#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
    typedef long long LL;
    const int N=(1<<20)+5;
    
    int col[100005];
    LL A[N],B[N];
    char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
    
    inline int read()
    {
    	int now=0;register char c=gc();
    	for(;!isdigit(c);c=gc());
    	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    	return now;
    }
    void FWT(LL *a,int lim,int opt)
    {
    	for(int i=2; i<=lim; i<<=1)
    		for(int j=0,mid=i>>1; j<lim; j+=i)
    			for(int k=j; k<j+mid; ++k)
    			{
    				LL x=a[k], y=a[k+mid];//LL!
    				a[k]=x+y, a[k+mid]=x-y;
    				if(opt==-1) a[k]>>=1, a[k+mid]>>=1;//这个还可以最后ans>>n。。
    			}
    }
    
    int main()
    {
    	int n=read(),m=read(),lim=1<<n;
    	for(int i=0; i<n; ++i)
    	{
    		register char c=gc(); while(!isdigit(c)) c=gc();
    		col[0]|=c-'0'<<i;
    		for(int j=1; j<m; ++j) col[j]|=gc()-'0'<<i;
    	}
    	for(int i=0; i<m; ++i) ++A[col[i]];//cnt
    	for(int i=1; i<lim; ++i) B[i]=B[i>>1]+(i&1);//bitcount
    	for(int i=1; i<lim; ++i) B[i]=std::min(B[i],n-B[i]);
    	FWT(A,lim,1), FWT(B,lim,1);
    	for(int i=0; i<lim; ++i) A[i]*=B[i];
    	FWT(A,lim,-1);
    	int ans=n*m;
    	for(int i=0; i<lim; ++i) ans=std::min(ans,(int)A[i]);
    	printf("%d
    ",ans);
    
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10028739.html
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