待填。。
计数问题
在一个有(n)个点的完全图(complete graph)中有多少棵生成树
对每个(n>0)，({1,2,cdots,n})上的完全图恰好有(n^{n-2})棵生成树。
证明见《具体数学（第二版）》7.6 指数型生成函数。
**[Update] **这不就是Prufer序列的结论吗= =。
排列组合
1. 当 (C_n^m) 为奇数时，((n&m)==m)
证明：因为是(mod 2)，所以考虑Lucas定理。
在(mod 2)的情况下(C(n,m))最后只会化成4种情况: (C(0,1),C(0,0),C(1,0),C(1,1)),后三种情况都是1，(C(0,1))不存在(0)，所以如果(C(n,m)mod 2)为偶数，那么一定在Lucas的过程中出现了(C(0,1))。
(mod 2)的过程容易想到位运算。
由(C(n,m)mod 2=C(n\%2,m\%2)*C(n/2,m/2)=C(n&1,m&1)*C(n>>1,m>>1)) 可知，若(C(n,m))为奇数，那么(m)一定是(n)二进制1的子集。
2. $$sum_{i=0}^nfrac{1}{i!(n-i)!}=frac{2^n}{n!}$$
https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9425230 （这好像是某组合公式吧）
3. Catalan数应用扩展
https://blog.csdn.net/qq_33435265/article/details/68954205
4. 组合数的各种性质及定理
https://blog.csdn.net/litble/article/details/75913032
数论
1. 计算(n!)中质因子p的个数的公式（(varepsilon_{p}(n!))）
递归式为$$f(n)=f(leftlfloorfrac{n}{p} ight floor)+leftlfloorfrac{n}{p} ight floor$$
for(LL i=n; i; i/=p) k+=i/p;
应用：分解阶乘的质因数，如BZOJ1005、CF 1114C、扩展Lucas。
可由(varepsilon_2(n!))推广到任意素数(p)？即$$varepsilon_p(n!)=leftlfloorfrac{n}{p} ight floor +leftlfloorfrac{n}{p^2} ight floor +leftlfloorfrac{n}{p^3} ight floor +cdots=sum_{kgeq1}leftlfloorfrac{n}{p^k} ight floor$$
(varepsilon_p(n!))有多大？从求和式中直接去掉底，然后对无穷几何级数求和，可以得到一个简单（然而很好的）上界：
(egin{aligned}varepsilon_p(n!)&<frac{n}{p}+frac{n}{p^2}+frac{n}{p^3}+cdots\&=frac{n}{p}left(1+frac{1}{p}+frac{1}{p^2}+cdots ight)\&=frac{n}{p}left(frac{p}{p-1} ight)\&=frac{n}{p-1}end{aligned})
——from 《具体数学（第二版）》
有兴趣的还可以看直尺函数(ruler function)。
2. 线性求阶乘逆元
因为(((n-1)!)^{-1}=(n!)^{-1}*n)。应用见排列组合2.
inv[n]=FP(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1; ~i; --i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;