• BZOJ.3510.首都(LCT 启发式合并 树的重心)


    题目链接 BZOJ
    洛谷

    详见这.

    求所有点到某个点距离和最短,即求树的重心。考虑如何动态维护。
    两棵子树合并后的重心一定在两棵树的重心之间那条链上,所以在合并的时候用启发式合并,每合并一个点检查sz[]大的那棵子树的重心(记为root)最大子树的sz[]*2是否>n;
    若>n,则向fa移动一次(先把合并点Splay到根)。重心还一定是在sz[]大的那棵子树中,且移动次数不会超过sz[]小的子树的点数(所以总移动次数不会超过O(n)?)。
    复杂度 (O(nlog^2n))

    具体实现。。想通了真是特别简单。。也就想想简单
    先Link,然后从心向右中序遍历(深度大是向右!).
    每到一个点判断其右子树和虚树的sz和*2是否>当前根的sz,如果是,则当前点是要找的重心,继续下一个。若sz[x]*2<sz[root],那么root就是根了。
    可能有多个重心,这些重心应该是连续的一段。因为编号最小,若sz[x] * 2==sz[root] && id[x]<id[root],则更新root继续。
    用并查集维护重心。(Find_root()太慢了)

    另外不需要再算左子树取max,及深度小于它的子树大小,因为既然重心在那边就不会大过另一边,更何况另一边还又插入了一棵子树。
    维护子树最大值找重心好像不行吧,合并更新好像很麻烦,直接用sz[]就可以找。
    注意用点的sz[]前先Splay()更新!

    至于更新重心可以通过缩短左右区间 能到O(nlogn)的方法(还比这个好理解?)以后再做吧

    为什么一定要Make_root()重心。。突然觉得根本不明白LCT,不知道怎么走的了。唉以后再说吧。。先水过去

    //4044kb	2256ms
    #include <cstdio>
    #include <cctype>
    #include <algorithm>
    #define gc() getchar()
    const int N=1e5+5;
    
    #define lson son[x][0]
    #define rson son[x][1]
    
    int n,m,Ans,sz[N],sz_i[N],_fa[N],fa[N],son[N][2],sk[N];
    bool tag[N];
    inline void Update(int x){
    	sz[x]=sz[lson]+sz[rson]+sz_i[x]+1;
    }
    inline bool n_root(int x){
    	return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;
    }
    inline void Rev(int x){
    	std::swap(lson,rson), tag[x]^=1;
    }
    inline void PushDown(int x){
    	if(tag[x]) Rev(lson),Rev(rson),tag[x]=0;
    }
    void Rotate(int x)
    {
    	int a=fa[x],b=fa[a],l=son[a][1]==x,r=l^1;
    	if(n_root(a)) son[b][son[b][1]==a]=x;
    	if(son[x][r]) fa[son[x][r]]=a;
    	fa[a]=x, fa[x]=b, son[a][l]=son[x][r], son[x][r]=a;
    	Update(a);
    }
    void Splay(int x)
    {
    	int t=1,a=x; sk[1]=x;
    	while(n_root(a)) sk[++t]=a=fa[a];
    	while(t) PushDown(sk[t--]);
    	while(n_root(x))
    	{
    		a=fa[x];
    		if(n_root(a)) Rotate(son[a][1]==x^son[fa[a]][1]==a?x:a);
    		Rotate(x);
    	}
    	Update(x);
    }
    void Access(int x){
    	for(int pre=0; x; x=fa[pre=x])
    		Splay(x), sz_i[x]+=sz[rson]-sz[pre], rson=pre;//Update(x);
    }
    void Make_root(int x){
    	Access(x), Splay(x), Rev(x);
    }
    void Split(int x,int y){
    	Make_root(x), Access(y), Splay(y);
    }
    int Find_root(int x)
    {
    	Access(x), Splay(x);
    	while(lson) x=lson;
    	return x;
    }
    void Link(int x,int y){
    	Split(x,y), sz_i[y]+=sz[x], fa[x]=y, Update(y);
    }
    int Get_fa(int x){
    	return x==_fa[x]?x:_fa[x]=Get_fa(_fa[x]);
    }
    //int Next(int x){//?
    //	PushDown(x), x=rson;
    //	while(lson) PushDown(x),x=lson;
    //	return x;
    //}
    int q[N],cnt;
    void DFS(int x,int lim)
    {
    	PushDown(x);
    	if(lson) DFS(lson,lim);
    	if(cnt>lim) return;
    	q[++cnt]=x;
    	if(cnt>lim) return;
    	if(rson) DFS(rson,lim);
    }
    int Union(int x,int y)
    {
    	int r1=Get_fa(x),r2=Get_fa(y);
    //	int r1=Find_root(x),r2=Find_root(y);
    	Splay(r1), Splay(r2);//先Splay更新sz[]!
    	if(sz[r1]>sz[r2]||(sz[r1]==sz[r2]&&y>x)) std::swap(x,y),std::swap(r1,r2);//x->y r1->r2
    	int lim=sz[r1],res=r2,tot=sz[r2]+sz[r1];
    	Link(x,y), Access(x), Splay(r2);
    	cnt=0;
    	DFS(r2,lim);
    	for(int sum,i=1; i<=cnt; ++i)
    	{
    		Splay(q[i]), sum=sz[son[q[i]][1]]+sz_i[q[i]]+1;
    //		if(tot<sum<<1) res=q[i];//不这么写是不是有点问题啊 
    //		else if(tot==sum<<1) res=std::min(res,q[i]);
    		if(tot<sum<<1||(tot==sum<<1&&q[i]<=res)) res=q[i];
    		else break;
    	}
    	Make_root(res);
    	_fa[r1]=_fa[r2]=_fa[res]=res/*更新重心*/;
    	return res;
    }
    inline int read()
    {
    	int now=0;register char c=gc();
    	for(;!isdigit(c);c=gc());
    	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
    	return now;
    }
    
    int main()
    {
    	n=read(),m=read();
    	int res=0,x,y; char opt[5];
    	for(int i=1; i<=n; ++i) _fa[i]=i, res^=i, sz[i]=1;
    	while(m--)
    	{
    		scanf("%s",opt);
    		if(opt[0]=='A') x=read(),y=read(),res^=Get_fa(x)^Get_fa(y)^Union(x,y);
    		else if(opt[0]=='Q') x=read(),printf("%d
    ",Get_fa(x));//printf("%d
    ",Find_root(x));
    		else printf("%d
    ",res);
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/8634833.html
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