9.1 正睿提高2

目录

• 2018.9.1 Test
  • A(凸壳 单调栈)
  • B(思路 独立 期望)
  • C
  • 考试代码
    • A
    • B
    • C

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2018.9.1 Test

时间：3.5h
实际得分：40+50+20

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T1直接忽略了，刚了3小时T2(暴力写法不好，直接乘逆元就行→_→)，算是有点成果吧。。
然后20分钟写完T1、T3。感觉T3也算可做的。

A(凸壳 单调栈)

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注意到(c_i=0)，即二次函数对称轴都为y轴，但是好像还是很难做。。
但是这样我们可以把一个x提出来，变成(x(ax+b))。
所以(x>0)时，我们要求(max{a_i*x+b_i})，即维护一个上凸壳；(x<0)时，维护一个下凸壳。
求法都一样，还是对斜率排序，用单调栈维护。更新时看i,sk[top],sk[top-1]间的关系。
求出凸壳后，可以在这些直线中二分出最大最小值是哪条直线。可以将求min时的直线乘-1，询问时再取反，就可以只写一个Find_Max的二分了(随意)。

还是用上/下凸壳指直线斜率递增/递减吧（凸函数）。。和图形反着。

只求了个上凸壳，在上面二分最小值直线是。。是错的。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int n;
LL ans[32330*2];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct Line
{
	int k,b;
	Line() {}
	Line(int k,int b):k(k),b(b) {}
	bool operator <(const Line &x)const{
		return k==x.k?b>x.b:k<x.k;
	}
}lu[N],ld[N],cu[N],cd[N];

inline int read()
{
	int now=0,f=1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now*f;
}
inline bool Check(Line a,Line b,Line c){//p(a&b) is on the left of p(b&c)
	return 1ll*(b.b-a.b)*(c.k-b.k)<=1ll*(b.b-c.b)*(a.k-b.k);
}
void Convex(Line *l,Line *sk,int &top)
{
	std::sort(l+1,l+1+n);
	sk[top=1]=l[1];
	for(int i=2; i<=n; ++i)
	{
		if(l[i].k==l[i-1].k) continue;
		while(top>1 && Check(l[i],sk[top-1],sk[top])) --top;
		sk[++top]=l[i];
	}
}
#define F(i,x) (line[i].k*x+line[i].b)
LL Find_Max(Line *line,int r,int x)
{
	int l=1,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=l+r>>1;
		if(F(mid,x)>F(mid+1,x)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return 1ll*x*F(l,x);
}

int main()
{
	n=read(); int Q=read();
	for(int i=1,a,b; i<=n; ++i)
		a=read(),b=read(),lu[i]=Line(a,b),ld[i]=Line(-a,-b);
	int cntu,cntd;
	Convex(lu,cu,cntu), Convex(ld,cd,cntd);
	for(int x; Q--; )
	{
		x=read();
		if(!x) puts("0");
		else if(ans[x+32323]) printf("%lld
",ans[x+32323]);
		else if(x>0) printf("%lld
",ans[x+32323]=Find_Max(cu,cntu,x));
		else printf("%lld
",ans[x+32323]=-Find_Max(cd,cntd,x));
	}
	return 0;
}

B(思路 独立 期望)

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答案就是所有元素期望被减的次数。（当然(a_1)是一定会被减掉的）
考虑某一局面，(i(i eq1))被减的期望次数是多少。所有元素被减的概率都是相同的。因为次数只与当前的(a_1,a_i)有关，且无论其它元素怎么变，1和i被减的概率都相同。
即其它元素对考虑它们没有影响，这个问题就等价于只有两个元素的原问题。（等价很厉害啊，与其它无关且概率相同概率就都是(frac{1}{2})了）
因此元素之间是独立的。对每个(a_i)计算答案求和就可以了。
对于只有两个元素的问题，相当于从点((a_1,a_2))出发，每次等概率向左或向下走一步，直至走到坐标轴。若走到((0,x))，则对答案贡献(a_2-x)；若走到((x,0))，则对答案贡献(a_2)。
或者考虑枚举(a_2)在(a_1)被减到0前减了多少次。

[sum_{i=0}^{a_2-1}i*frac{C_{a_1-1+i}^i}{2^{a_1+i}}+a_2(1-sum_{i=0}^{a_2-1}frac{C_{a_1-1+i}^i}{2^{a_1+i}}) ]

前面是(a_2)未被减至0的期望次数，后面是被减至0的期望次数（概率用(1-sum_{i=0}^{a_2-1}frac{C_{a_1-1+i}^i}{2^{a_1+i}})就可以啊）。
(a_2)每次增加1，前后都只会增加1项。算的时候直接用到(a_2)的前缀和也对，因为前后正好消掉。
复杂度(O(a+n))。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define mod 323232323
typedef long long LL;
const int N=1e6+5;

int n,A[N>>1],fac[N],inv[N],inv2[N],f[N],p[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

#define C(n,m) (1ll*fac[(n)]*inv[(m)]%mod*inv[(n)-(m)]%mod)
inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
	int t=1;
	for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
		if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
	return t;
}

int main()
{
	n=read(); int mx=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) mx=std::max(mx,A[i]=read());
	int a1=A[1], lim=a1+mx; fac[0]=1;
	for(int i=1; i<=lim; ++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[lim]=FP(fac[lim],mod-2);
	for(int i=lim-1; ~i; --i) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
	int i2=FP(2,mod-2); inv2[0]=1;
	for(int i=1; i<=lim; ++i) inv2[i]=1ll*inv2[i-1]*i2%mod;//2^{-i}

	p[0]=inv2[a1];
	for(int i=1; i<=mx; ++i)
	{
		p[i]=1ll*C(a1+i-1,i)*inv2[a1+i]%mod, f[i]=1ll*i*p[i]%mod;
		p[i]+=p[i-1], p[i]>=mod&&(p[i]-=mod);
		f[i]+=f[i-1], f[i]>=mod&&(f[i]-=mod);
	}
	LL ans=a1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) ans+=f[A[i]/*-1*/]+1ll*A[i]*(mod+1-p[A[i]/*-1*/])%mod;
	printf("%d
",(int)(ans%mod));

	return 0;
}

C

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考试代码

A

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int n,Q,A[N],B[N];
LL ans[32323*4];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0,f=1;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now*f;
}
inline LL F(int x)
{
	int xx=x*x;
	LL res=1ll*A[1]*xx+(LL)B[1]*x;
	for(int i=2; i<=n; ++i) res=std::max(res,1ll*A[i]*xx+(LL)B[i]*x);
	return res;
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);

	n=read(), Q=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read(),B[i]=read();
	for(int i=1,x; i<=Q; ++i)
	{
		x=read();
		if(ans[x+32323]) printf("%lld
",ans[x+32323]);
		else printf("%lld
",ans[x+32323]=F(x));
	}
	return 0;
}

B

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 323232323
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int n,A[N],fac[N<<1],inv[N<<1],i2[N<<1];
struct Fraction
{
	LL x,y;
	Fraction() {x=0, y=1;}
	Fraction(LL x,LL y):x(x),y(y) {}
	LL Gcd(LL x,LL y){
		return y?Gcd(y,x%y):x;
	}
	void Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
	{
		if(!b) x=1, y=0;
		else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
	}
	void Fix() {LL g=Gcd(x,y); x/=g, y/=g;}
	Fraction operator +(const Fraction &f)
	{
		LL a=x*f.y+y*f.x,b=y*f.y,g=Gcd(a,b);
//		printf("%I64d/%I64d + %I64d/%I64d = %I64d/%I64d
",x,y,f.x,f.y,a/g,b/g);
		return Fraction(a/g,b/g);
	}
	Fraction operator +(LL f)
	{
		LL a=f*y+x,g=Gcd(a,y);
		return Fraction(a/g,y/g);
	}
	Fraction operator *(LL f)
	{
		LL a=x*f,g=Gcd(a,y);
		return Fraction(a/g,y/g);
	}
//	Fraction operator *(const Fraction &f)
//	{
//		LL a=x*f.x,b=y*f.y,g=Gcd(a,b);
//		return Fraction(a/g,b/g);
//	}
	void Print()
	{
		LL a,b; Exgcd(y,mod,a,b);
		a=(a%mod+mod)%mod;//!
//		printf("
%I64d/%I64d=",x,y);
		printf("%d
",(int)(a*x%mod));
	}
}Ans;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
	int t=1;
	for(; k; k>>=1,x=1ll*x*x%mod)
		if(k&1) t=1ll*t*x%mod;
	return t;
}
void DFS(int x,int t,LL p)
{
	if(!A[1])
	{
//		printf("%d %d*1/%I64d
",x,t,p);
		Ans=Ans+Fraction(1,p)*t;
		return;
	}
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		if(A[i]) --A[i], DFS(x+!A[i],t+1,p*(n-x)%mod), ++A[i];
}
bool Check2()
{
	for(int i=1; i<=n; ++i) if(A[i]>1) return 0;
	return 1;
}
#define C(n,m) (1ll*fac[(n)]*inv[(m)]%mod*inv[(n)-(m)]%mod)
//int c[1005][1005];
//int C(int n,int m) {return c[n][m];}
void Solve3()
{
//	c[0][0]=1;
//	for(int i=1; i<1000; ++i)
//	{
//		c[i][0]=c[i][i]=1;
//		for(int j=1; j<i; ++j)
//			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
//	}
	int a1=A[1], a2=A[2], lim=a1+a2; fac[0]=1;
	for(int i=1; i<=lim; ++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[lim]=FP(fac[lim],mod-2), inv[0]=1;
	for(int i=lim-1; i; --i) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
	int inv2=FP(2,mod-2); i2[0]=1;
	for(int i=1; i<=lim; ++i) i2[i]=1ll*i2[i-1]*inv2%mod;//2^{-i-1}
	LL ans=0;
	for(int i=0; i<a2; ++i)
		ans+=1ll*C(a1+i-1,i)*(a1+i)%mod*i2[a1+i]%mod;
	for(int i=a2; i<lim; ++i)
		ans+=1ll*C(i-1,a2-1)*lim%mod*i2[i]%mod;
	printf("%d
",(int)(ans%mod));
}

int main()
{
//	freopen("B.in","r",stdin);

	n=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	if(n==1) return printf("%d
",A[1]),0;
//	DFS(0,0,1); Ans.Print();
	if(n<=5&&A[1]<=5&&A[2]<=5) {DFS(0,0,1); Ans.Print(); return 0;}
	if(Check2()) {Fraction(n+1,2).Print(); return 0;}
	if(n==2) {Solve3(); return 0;}
	printf("%d
",202020207);

	return 0;
}

C

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=3e5+5;

int n,Q,A[N],dis[N],Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],top[N],dep[N],fa[N],sz[N],son[N],dgr[N];
LL Ans[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline void AddEdge(int u,int v)
{
	++dgr[v], to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	++dgr[u], to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
inline int LCA(int u,int v)
{
	while(top[u]!=top[v]) dep[top[u]]>dep[top[v]]?u=fa[top[u]]:v=fa[top[v]];
	return dep[u]>dep[v]?v:u;
}
void DFS1(int x)
{
	int mx=0; sz[x]=1;
	for(int v,i=H[x]; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x])
		{
			dis[v]=dis[x]+1, fa[v]=x, dep[v]=dep[x]+1, DFS1(v), sz[x]+=sz[v];
			if(mx<sz[v]) mx=sz[v], son[x]=v;
		}
}
void DFS2(int x,int tp)
{
	top[x]=tp;
	if(son[x])
	{
		DFS2(son[x],tp);
		for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
			if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) DFS2(to[i],to[i]);
	}
}
void DFS(int x,int f,int d)
{
	Ans[x]=Ans[f]+(A[x]|d);
	for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
		if(to[i]!=f) DFS(to[i],x,d+1);
}
void Spec()
{
	DFS(1,1,0);
	for(int u,v; Q--; )
	{
		u=read(), v=read();
		if(u==1) std::swap(u,v);
		printf("%lld
",Ans[u]);
	}
}

int main()
{
//	freopen("C.in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);

	n=read(), Q=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	for(int i=1; i<n; ++i) AddEdge(read(),read());
	if(n>5000) {Spec(); return 0;}
	DFS1(1), DFS2(1,1);
	for(int u,v,w; Q--; )
	{
		u=read(), v=read(), w=LCA(u,v);
		LL ans=A[w]|(dis[u]-dis[w]);
		for(int x=u,d=0; x!=w; x=fa[x],++d) ans+=A[x]|d;
		for(int x=v,d=dis[u]+dis[v]-(dis[w]<<1); x!=w; x=fa[x],--d) ans+=A[x]|d;
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}