题目
[largeprod_{i_1=1}^nprod_{i_2=1}^ndotsprod_{i_k=1}^nfrac{i_1*i_2*dots*i_k}{gcd(i_1,i_2,dots,i_k)}pmod {998244353}
]
分析
考虑分子分母分别处理，首先看分子，设
[large f[k]=prod_{i_1=1}^nprod_{i_2=1}^ndotsprod_{i_k=1}^n i_1*i_2*dots*i_k
]
那么(f[k]=(n!)^{n^{k-1}}f[k-1]^n)，其中(f[0]=1)
设(f_n[k])表示(f[k])中(n!)的次数，那么
(f_n[k]=n^{k-1}+n*f_n[k-1])，其中(f_n[0]=0)
可以找规律发现(f_n[k]=kn^{k-1})
那么
[f[k]=(n!)^{kn^{k-1}}
]
这就是分子
分母就是
[largeprod_{i_1=1}^nprod_{i_2=1}^ndotsprod_{i_k=1}^n gcd(i_1,i_2,dots,i_k)
]
如果硬套性质很难做，考虑枚举约数计算这个约数出现了多少次，那也就是
[large prod_{d=1}^n d^{sum_{i_1=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}sum_{i_2=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}dots sum_{i_k=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}[gcd(i_1,i_2,dots i_k)==d]}
]
根据莫比乌斯函数的性质化简得到
[large prod_{d=1}^n d^{sum_{g=1}^frac{n}{d}mu(g){lfloorfrac{n}{dg}
floor}^k}
]
如果直接套用整除分块会TLE，考虑预处理({lfloorfrac{n}{dg}
floor}^k)
一定要做到(O(1))查询，这个很简单，直接开个桶完成一次询问后清除标记就可以了
如果用个STL::map的话就会TLE，当然可以套用欧拉定理优化快速幂
代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <map>
#define rr register
using namespace std;
const int mod=998244353,phi=998244352,Phi=402653184,P=3001;
const int N=300000; typedef long long lll; lll k; int h[N|31];
int mu[N|31],fac[N|31],inv[N|31],prime[N|31],Cnt,v[N|31],ans,T,n;
inline signed ksm(int x,int y,int p){
rr int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%p)
if (y&1) ans=1ll*ans*x%p;
return ans;
}
signed main(){
mu[1]=fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
for (rr int i=2;i<=N;++i){
if (!v[i]) prime[++Cnt]=i,mu[i]=-1;
for (rr int j=1;j<=Cnt&&prime[j]<=N/i;++j){
v[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for (rr int i=2;i<=N;++i) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod,mu[i]+=mu[i-1];
for (rr int i=2;i<=N;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
for (scanf("%d",&T);T;--T){
scanf("%d%lld",&n,&k),ans=1;
rr int f=ksm(fac[n],1ll*k%phi*ksm(n,(k-1)%Phi,phi)%phi,mod);
for (rr int l=1,r,z;l<=n;l=r+1)
z=n/l,r=n/z,h[z]=ksm(z,k%Phi,phi);
for (rr int l=1,r,z,now;l<=n;l=r+1){
z=n/l,r=n/z,now=0;
for (rr int L=1,R,Z;L<=z;L=R+1)
Z=z/L,R=z/Z,now=(now+1ll*(mu[R]-mu[L-1]+phi)*h[Z]%phi)%phi;
ans=1ll*ans*ksm(1ll*fac[r]*inv[l-1]%mod,now,mod)%mod;
}
for (rr int l=1,r,z;l<=n;l=r+1)
z=n/l,r=n/z,h[z]=0;
printf("%lld
",1ll*f*ksm(ans,mod-2,mod)%mod);
}
return 0;
}