求逆元的史上最好方法总结

简单的来说，已知a和m，求a的逆元（如果存在的话等于1/a mod m）。

现分几种情况讨论。

1. m是素数（a<m）。

　　a的逆元必然存在。两种方法求逆元，在线用拓展欧几里得算，打表用递推。

　　不用费马小定理在线算逆元是因为拓展欧几里得复杂度O(logn)，费马小定理复杂度O(log mod)，后者比前者慢一些。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define scan(i) scanf("%d",&i)
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 
#define pf printf
using namespace std;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
ll getinv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    ll x,y;
    ll d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
int main(){
    cout<<getinv(3,7);
    return 0;
} 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define scan(i) scanf("%d",&i)
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 
#define pf printf
using namespace std;
const int M=10000;
ll inv[M+5];
void getInv(ll mod)//离线打表求逆元 
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<mod;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
int main(){
    getInv(7);
    cout<<inv[3];
    return 0;
} 

2. m不是素数

　　当gcd(a,m)!=1时，a的逆元不存在。其他情况下，打表就不行了，只能在线算了。具体方法是用上面的拓展欧几里得求，复杂度O(logn)，下面贴个费马小定理的板子吧~~

ll qkpow(ll a,ll p,ll mod)
{
    ll t=1,tt=a%mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)t=t*tt%mod;
        tt=tt*tt%mod;
        p>>=1;
    }
    return t;
}
ll getInv(ll a,ll mod)
{
    return qkpow(a,mod-2,mod);//这里本来该放的是欧拉函数，可以详见本人的其他博客~
}