莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数(mu)的定义：

[egin{eqnarray}mu(i)&=&0(i含有平方因子)\&=&(-1)^{i的因子个数}(i不含有平方因子数)end{eqnarray} ]

(mu)的性质：

积性函数（不完全）

重要公式：(sum_{d|n}mu(d)=(n==1))

证明：

n等于1时结论显然

否则将(mu(d))当做容斥系数来证明

例题1：

(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)==1))

(n,mle10^7)

题解：

考虑原式：(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)==1))

原式等于：(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{m}sum_{d|gcd(i,j)}mu(d))

这样在(gcd(i,j)！=1)时对答案无贡献，而在它等于1是对答案贡献唯一，符合原式

枚举(d)

如果(d)是(gcd(i,j))的因数，那么

(d|i)&&(d|j)

对于每个d来说

在1到n的范围中有(lfloor frac{n}{d} floor)

在1到m的范围中有(lfloor frac{m}{d} floor)

相应的(d)作为(gcd(i,j))的因数就该有(lfloor frac{n}{d} floorlfloor frac{m}{d} floor)多次

也意味着(mu(d))出现了那么多次

那么我们枚举$d $

既：(sum_{d=1}^{n}lfloor frac{n}{d} floorlfloor frac{m}{d} floormu(d))

这里d从1到n还是从1到m都无所谓

因为有若(d)大于(n,m)其中一个那么向下取整就会变为0，既对答案无贡献

我们发现(lfloor frac{n}{d} floor)和(lfloor frac{m}{d} floor)都最多只有(sqrt{n})和(sqrt{m})种取值，那么枚举这些取值，先预处理(mu)的前缀和，就能在根号级别的时间里解决原题了。

例题2：

(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)==prime))

(n,mle10^7)

题解：

[egin{eqnarray}原式&=&sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)==prime)\枚举gcd&=&sum_{xin prime}sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{x} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{x} floor}(gcd(i,j)==1)\借用上一题公式：&=&sum_{xin prime}sum_{d=1}^{n}lfloor frac{n}{dx} floorlfloor frac{m}{dx} floormu(d)\枚举dx &=&sum_{k=1}^{n}lfloor frac{n}{k} floorlfloor frac{m}{k} floorsum_{xin prime&x|k}mu(frac{k}{x})end{eqnarray} ]

在线性筛时恰好可以处理右边的前缀和，那么就同上一题一样直接上就好了。

至于其他的题目，对于每次式子不断换着东西来枚举，枚举到符合复杂度的形式即可√