Codeforces Round #647 (Div. 2) E Johnny and Grandmaster

题目链接

http://codeforces.com/contest/1362/problem/E

题目大意

给你一个长度为 n 的数组 K 和 一个整数 P, 让你将数组 K 分为A 、B两个集合

使得 ∑ P^KA - ∑ P^KB  的绝对值尽可能的小  

解题思路

我们先考虑如果 p^k 的范围为 1e9 以内，那么在对 k 从大到小排序后

对于每个数 p^ki 它都是 p 的幂次 , 所以 p^ki 一定会 ≥ p^k(i+1) +...+ p^k(j)

而如果 p^ki < p^k(i+1) ... p^k(j) + p^k(j+1) , 那么 p^ki 就一定会等于 p^k(i+1) ... p^k(j)

所以最优的方案一定是先放入一个数在 a，然后放入 x 个数在 b 

直到集合 b 的和等于集合 a 的和 ，再重新放一个数到 a (重复以上步骤 , 直到用完所有数)

若所有 p^k 的范围都在 1e9 以内 , 那么我们就可以简单的扫一遍得出答案

代码如下 : (把加入集合 a 的当做正数 , 加入集合 b 的当做负数)

int ans = 0;
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
{
    if(!ans) ans += pow_mod(p , k[i]);
    else ans -= pow_mod(p , k[i]);
}

而当 p^k 的范围大了之后 , 就需要对它进行取模 

而取完模之后就无法再比较集合a的和 and 集合b的和

不过回到前面的最优方案 , 我们会发现只有当集合a的和等于集合b的和时 ,我们才会把数放入a

其它时候我们都要把数丢进集合 b

而集合 a 的和等于集合 b 的和等价于 sum(a) - sum(b) = 0 

只有当 sum(a) - sum(b) = 0 的时候答案 ans += p ^ ki , 其它时候 ans -= p ^ ki

而 sum(a) - sum(b) 又相当于 ans = 0 , 即我们只要判断 ans 是否等于 0 即可

因为涉及到了取模 , 所以 ans 等于模数的时候取模完的值也会是0

所以我们可以采取双模数的方法来判断 ans 是否等于 0 (有点类似哈希吧？)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7 , mod = 999998639;
int k[N] , n , p;
int pow_mod(int x , int n , int mod)
{
    int res = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int t;
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        cin >> n >> p;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> k[i];
        sort(k + 1 , k + 1 + n , greater<int>());
        int ans1 = 0 , ans2 = 0;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        {
            if(!ans1 && !ans2) 
                ans1 += pow_mod(p , k[i] , MOD), 
                ans2 += pow_mod(p , k[i] , mod);
            else
                ans1 = (ans1 - pow_mod(p , k[i] , MOD) + MOD) % MOD,
                ans2 = (ans2 - pow_mod(p , k[i] , mod) + mod) % mod;
        }
        cout << ans1 << '
';
    }
    return 0;
}