P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目链接

点我跳转

题目大意

取数游戏：

给定一个 (N × M) 的矩阵

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 (N) 个。经过 (M) 次后取完矩阵内所有元素
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 × (2^i)，其中 ii 表示第 (i) 次取数（从 1 开始编号）
4. 游戏结束总得分为 (M) 次取数得分之和。

解题思路

由于每次取数只能从行头或者行尾

所以不难想到区间 (dp)

题目中各行之间并不相互影响 , 所以可以一行一行处理

对于当前行 , 定义 (dp[l][r]) 表示处理完区间 ([l , r]) 所能得到的最大得分

其中 (dp[l][r]) 可以由 (dp[l - 1][r] , dp[l][r + 1]) 转移得到

设 (length = l - r + 1) (区间长度)

那么显然 $dp[l][r] = max(dp[l - 1][r] + a[l - 1] * 2^{length} , dp[l][r + 1] + a[r + 1] * 2^{length} $

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>

#define rep(i , a , b) for(int i = a ; i <= b ; i ++)

using namespace std;

template <typename T> void Out(T x)
{
	if(x < 0) putchar('-') , x = -x;
	if(x > 9) Out(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

const int M = 1e2 + 10;

__int128 two[M] , dp[M][M] , ans;

int a[M][M];

signed main()
{

	two[0] = 1;

	rep(i , 1 , M) two[i] = two[i - 1] * 2;

	int n , m;

	cin >> n >> m;

	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) for(int j = 1 ; j <= m ; j ++) cin >> a[i][j];

	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	{
		memset(dp , 0 , sizeof(dp));
		for(int len = m ; len >= 1 ; len --)
		{
			for(int l = 1 ; l + len - 1 <= m ; l ++)
			{
				int r = l + len - 1;
				__int128 c = two[m - (r - l + 1)]; 
				dp[l][r] = max(dp[l - 1][r] + c * a[i][l - 1] , dp[l][r + 1] + c * a[i][r + 1]);
			}
		}
		__int128 ma = 0;
		for(int j = 1 ; j <= m ; j ++) ma = max(ma , dp[j][j] + two[m] * a[i][j]);
		ans += ma;
	}

	Out(ans) , puts("");

	return 0;
}