Codeforces1499D The Number of Pairs

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题目大意

有 T 组询问

每组询问给定三个整数 (c,d,x)

问有多少对 ((a , b)) 使得 (c imes lcm(a,b) - d imes gcd(a , b) = x)

(1 <= t <= 10^4)，(1<=c,d,x<=10^7)

解题思路

(c imes lcm(a,b) - d imes gcd(a , b) = x)

(c imes dfrac{a imes b}{gcd(a,b)} - d imes gcd(a , b) = x)

(c imes a imes b - d imes gcd(a , b)^2 = x imes gcd(a,b))

(c imes a imes b = x imes gcd(a,b) + d imes gcd(a , b)^2)

(c imes dfrac{a}{gcd(a,b)} imes dfrac{b}{gcd(a,b)} = dfrac{x}{gcd(a,b)} + d)

因为 (c imes dfrac{a}{gcd(a,b)} imes dfrac{b}{gcd(a,b)}) 为整数，(d) 为整数

所以 (dfrac{x}{gcd(a,b)}) 为整数，所以 (gcd(a,b)) 为 (x) 的因子

于是 (gcd(a,b)) 我们可以在 (sqrt{x}) 的复杂度内枚举

定义 (A = dfrac{a}{gcd(a,b)} , B = dfrac{b}{gcd(a,b)})
那么有 (gcd(A , B) =1) ，(A imes B = dfrac{dfrac{x}{gcd(a,b)} + d}{c})

定义 (R = {dfrac{x}{gcd(a,b)} + d})

因为 (A imes B) 为整数，所以 (R) 要满足 (Rmod c = 0)

于是问题就转换成 有多少对 (A,B) 满足 (egin{cases}gcd left( A,B ight) =1\ A imes B=Rend{cases})

对于 (A imes B= R)，只要将 (R) 的质因子分配给 (A) 或 (B) 即可

对于 (gcd(A , B) = 1)，只要将 (R) 的某个质因子全部分给 (A) 或者全部分给 (B) 即可

那么 (R) 的贡献就是 (2^{p_{cnt}}) ，其中 (p_{cnt}) 表示 (R) 的质因子个数

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 

const int M = 2e7 + 10;

int cnt[M];

signed main()
{
	int T , up = 2e7;

	for(int i = 2 ; i <= up ; i ++)
	{
		if(cnt[i]) continue ;

		for(int j = i ; j <= up ; j += i) cnt[j] ++ ;
	}
	
	cin >> T;
	
	while(T --)
	{
	
		int c , d , x , res = 0;
	
		cin >> c >> d >> x;
	
		for(int i = 1 ; i * i <= x ; i ++)
		{
			if(x % i == 0)
			{
				int R = x / i + d;
	
				if(R % c == 0)
				{
					R /= c;
				
					res += 1ll << cnt[R];	
				} 
			
				int j = x / i;
			
				if(j == i) continue ;
			
				R = x / j + d;
			
				if(R % c == 0)
				{
					R /= c;
			
					res += 1ll << cnt[R];
				}
			}
		}
		
		cout << res << '
';
	}
	return 0;
}