题目链接
题目大意
给定 (N) 台电脑，起初每台电脑都是关闭的
现在你可以随意打开电脑，但如果第 (i-1)、第 (i+1) 台电脑是开启的，则第 (i) 台电脑也会自动开启，而你无法手动开启它
问你有多少种打开电脑的方法，使得最后所有电脑都是开着的
解题思路
分成两步来解决.
第一步：
考虑：如果 (N) 台电脑我都要手动开启，有多少种方法？
可以枚举是从哪台电脑开始打开：
- 从 (1) 开始，剩下的 (N-1) 必须按照 (2,3,...,n) 的顺序开(不理解可以画一下)
- 从 (2) 开始，对于 (2) 左边的电脑 ([3)~(N])，(4) 必须在 (3) 开了之后开，(5) 必须在 (4) 开了之后开 (...) ，而 (1) 可以在任意时刻开机
- (...)
- 从 (k) 开始开，对于 (k) 左边的电脑， 它们的相对开机顺序必须是 (k + 1 , k + 2 , ... , n)
对于(k) 右边的电脑，它们的相对开机顺序必须是 (k-1,k-2,...,1)
不过左右两边的开机顺序是可以穿插（合并）在一起的
所以手动开启 (N) 台电脑的方案数为 (C_{n-1}^{1}+C_{n-1}^{2}+ldots +C_{n-1}^{n-1} = 2^{n-1})
第二步：
考虑：最后电脑开启的状态？
显然最后电脑开启的状态会是这样的：
手动开启 (1sim X_1) → 自动开启 (X_1+1) → 手动开启 (X_1+2sim X2) 台 →自动开启 (X_2+1) → (...) → 手动开启 (X_{n-1} + 1sim X_n) ，其中需要保证 (X_i + 1 < N)
于是我们可以定义 (f[i][j]) 表示：前 (i) 台电脑，手动打开了 (j) 台, 第 (i) 台是手动打开的 , 第 (i + 1) 台是自动打开的方案数。
那么 (f[i][j]) → (f[i + 1 + X_i][j + X_i]) 的意义为：
手动打开 (pos sim i) → 自动打开(i+1) → 手动打开 (i + 2 sim X_i) 的过程。
- (f[i+1+X_i][j+X_i]) 相对 (f[i][j]) 又多手动开启了 (X_i) 台电脑
- 这 (X_i) 台的电脑的开启方案数有 (2^{Xi-1})种（第一步得出的结论）
- 然后考虑将这 (X_i) 台"新"电脑开机的顺序和 (j) 台"旧"电脑开机的顺序穿插（合并）在一起。
即现在有 (X_i+j) 个开机顺序需要确认，我们可以从中选 (X_i) 个放"新"电脑的开机顺序，剩下的放"旧"电脑的开机顺序，那么方案数为 (C_{X_i+j}^{X_i}) (或者 (C_{X_i+j}^{j})也可以）所以可得： (f[i + 1 + X_i][j + X_i] = f[i][j] imes 2^{Xi-1} imes C[j + X_i][X_i])
答案即： $ans=sum ^{n}_{i=0}fleft[ n ight] left[ i ight] $
(i)、(j)、(X_i) 都可以通过枚举得到
写题解不易，如有帮助到您请点个赞给予我一点小小的鼓励！
AC_Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4e2 + 10;
long long C[N][N] , bit[N];
long long n , m , ans , f[N][N];
void init(int mod)
{
bit[0] = 1;
for(int i = 1 ; i <= N - 10 ; i ++) bit[i] = bit[i - 1] * 2 % mod;
for(int i = 0 ; i <= N - 10 ; i ++)
{
C[i][0] = 1;
for(int j = 1 ; j <= i ; j ++) C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;
}
}
signed main()
{
cin >> n >> m;
init(m);
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
{
f[i][i] = bit[i - 1];
for(int j = 0 ; j <= i ; j ++)
{
for(int k = 1 ; k + i + 1 <= n; k ++)
{
f[i + 1 + k][j + k] += f[i][j] * bit[k - 1] % m * C[j + k][k] % m;
f[i + 1 + k][j + k] %= m;
}
}
}
for(int i = 0 ; i <= n ; i ++) ans += f[n][i] , ans %= m;
cout << ans << '
';
return 0;
}