二进制优化多重背包

优化多重背包的方式中两种常用的是单调队列和二进制优化，今天主要学习了一下二进制优化（征集各方资料）。

先说下 01 背包，有n 种不同的物品，每个物品有两个属性 ：$ size $ 体积，$ value $ 价值，现在给一个容量为 $ w $ 的背包，问 最多可带走多少价值的物品。

int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值  
for (int i=0; i<n; i++)  
    for (int j=w; j>=size[i]; j++)  
        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  

如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可

for (int i=0; i<n; i++)  
    for (int j=size[i]; j<=w; j++)  
        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  

f[w] 即为所求  

初始化分两种情况
1、如果背包要求正好装满则初始化 $ f[0] = 0, f[1->w] = -INF; $
2、如果不需要正好装满 $ f[0->w] = 0; $

多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求 可得到的最大价值

多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数 $ C $分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于 $ C $ 的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释

比如：

7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数

15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字

如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成 7以内任意一个数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于13的数，虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

看代码的话：

int n;  //输入有多少种物品  
int c;  //每种物品有多少件  
int v;  //每种物品的价值  
int s;  //每种物品的尺寸  
int count = 0; //分解后可得到多少种物品  
int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值  
int size[MAX];  //用来保存分解后物品体积  

scanf("%d", &n);    //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解  

while (n--) {   //接下来输入n中这个物品  
    scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //输入每种物品的数目和价值  
    for (int k=1; k<=c; k<<=1) { //<<左移 相当于乘二  
        value[count] = k*v;  
        size[count++] = k*s;  
        c -= k;  
    }  
    if (c > 0) {  
        value[count] = c*v;  
        size[count++] = c*s;  
    }  
}  

现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了 。

下面证明一下为什么有重复没有影响的正确性：

不正确可能产生的原因就是将重复的多加一次，比如 7+7=14 就可能造成错误，但是分析一下其实是不可能出现的，因为假如第一个 7 是由 0001+0010+0100 得到的，那么第二个 7 就需要用到 0110+0001，但 0001 只能出现一次嘛，所以不会形成这种错误的，其它的可能错误操作也能由这种解释进行否定，从而验证了正确性。