算法学习——吉司机线段树

吉司机线段树

引入：

训练赛遇到一个题打铁的匠，需要做到询问区间大于x的和。

赛后学习到，需要用到吉司机树的技巧。
引入的原因十分显然：

• 经典问题：给定一个序列，支持区间赋值 (min/max(a[i],x)) 以及区间求和。
• 每次修改的时间复杂度为(log)或(log^2)。

算法构造：

想要实现这种操作必然离不开线段树。
以 (min) 为例，对于线段树的每个节点(p)我们需要维护四个值：

• (mx) ：区间最大值
• (cnt) ：最大值出现的次数
• (md) ：次大值（严格小于mx且最大）
• (sum) ：区间和

对于节点(p)，进行如下操作

1. 若(x geq mx) 直接return。
2. 若(md leq x leq mx, sum-=cnt imes (mx-x))（也就是只需要对mx修改）。
3. (x leq md)，暴力递归。

与区间加结合：

• 只需多加一个加法标记。
• 复杂度多一个(log) 。

复杂度的分析听说需要用到势能分析，吉老师已经证明过了，具体还需要看集训队论文。

代码实现：

#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
struct Seg
{
    int p,l,r,mx,md,c,mi;
    ll sum;
#define l(i) t[i].l
#define r(i) t[i].r
#define c(i) t[i].c
#define mx(i) t[i].mx
#define md(i) t[i].md
#define sum(i) t[i].sum
#define mi(i) t[i].mi
}t[N<<2];

void pushup(int p)
{
    sum(p)=sum(ls)+sum(rs);
    mx(p)=max(mx(ls),mx(rs));
    md(p)=max(md(ls),md(rs));
    mi(p)=min(mi(ls),mi(rs));
    c(p)=0;
    if(mx(ls)!=mx(rs)) md(p)=max(md(p),min(mx(ls),mx(rs)));
    if(mx(p)==mx(ls)) c(p)+=c(ls);
    if(mx(p)==mx(rs)) c(p)+=c(rs);
}
void build(int p,int l,int r)
{
    l(p)=l;r(p)=r;
    if(l==r)
    {
        mi(p)=mx(p)=sum(p)=a[l];
        md(p)=-1;
        c(p)=1;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    pushup(p);
}
void update(int p,int z)
{
    if(z>=mx(p)) return;
    sum(p)-=(mx(p)-z)*c(p);
    mx(p)=z;
}
void pushdown(int p)
{
    update(ls,mx(p));
    update(rs,mx(p));
}
void change(int p,int l,int r,int z)
{
    if(z>=mx(p)) return;
    if(l<=l(p)&&r>=r(p)&&md(p)<z)
    {
        update(p,z);
        return;
    }
    int mid=l(p)+r(p)>>1;
    pushdown(p);
    if(l<=mid) change(ls,l,r,z);
    if(r>mid) change(rs,l,r,z);
    pushup(p);
}

虽然看起来长得跟一般的线段树差不多，但是它对于(min)的处理还是需要借鉴和学习。

PS:上面的那道题只需要用到询问操作只需要做一些相应的修改（可以参考修改操作）

代码链接