BZOJ_1013_[JSOI2008]_球形空间产生器_(高斯消元)

描述

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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013

n维空间,给出球上n+1个点的n维坐标,求球心坐标.

提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

分析

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对于前n个点,第i个点到球心的距离与第i+1个相同,可以列出形式如下的n个方程(x表示球心):

$$sum_{j=1}^n(a[i][j]^2-a[x][j]^2)=sum_{j=1}^n(a[i+1][j]^2-a[x][j]^2)$$

我们把它展开,化简,得到:

$$sum_{j=1}^n2a[x][j](a[i+1][j]-a[i][j])=sum_{j=1}^n(a[i+1][j]^2-a[i][j]^2)$$

如上的方程中(a[i][j]与a[i+1][j])都是已知的,所以是一个n元一次方程.我们可以列出来n个,问题就转化为了求一个线性方程组的解.

对于这样的问题,我们高斯消元法.其实和我们平常解方程组消元差不多,我大概说一下思路.

我们把方程组列出来,从1~n标号.

先让2~n的方程都加上一定倍数的1号方程,把它们的1号元消去.

再让3~n的方程都加上一定倍数的2号方程,把他们的2号元消去.

...

最后发现方程组变成了一个三角形的样子.n号方程只有一个未知数即n号元.接下来从下到上代入求解.

解出n号元代入n-1号方程,求出n-1号元.

解出n-1号元代入n-2号方程,求出n-2号元.

...

这样就OK了.

但是在实现的时候我们通常用什么什么主元消元法...

意思就是在消去i号元的时候,由于i~n号方程是等价的,所以我们不一定要选i号方程,可以选其他的.

那我们选哪一个呢?我们选i号元的系数绝对值最大的那一个.

这样的话其他方程都会加上一个较小倍数的选中的方程,这样可以减少乘法带来的误差...

差不多就是这样,这东西不复杂,自己感受一下~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=20+5;
int n;
double a[maxn][maxn],A[maxn][maxn];
void gause(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int t=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(A[j][i])>fabs(A[t][i])) t=j;
        if(t!=i) for(int j=1;j<=n+1;j++) swap(A[i][j],A[t][j]);
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            double x=A[j][i]/A[i][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++) A[j][k]-=x*A[i][k];
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        for(int j=i+1;j<=n;j++) A[i][n+1]-=A[j][n+1]*A[i][j];
        A[i][n+1]/=A[i][i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++) A[i][j]=2*(a[i+1][j]-a[i][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++) A[i][n+1]+=a[i+1][j]*a[i+1][j]-a[i][j]*a[i][j];
    }
    gause();
    printf("%.3lf",A[1][n+1]);
    for(int i=2;i<=n;i++) printf(" %.3lf",A[i][n+1]);
    return 0;
}

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Submit: 4166  Solved: 2191
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

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