一、前言
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。 —— 【约瑟夫问题】维基百科
二、题目描述
0,1,,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
示例 ： 输入: n = 5, m = 3 输出: 3
三、暴力解法
假设当前删除的位置是 idx ,下一个删除的数字的位置是 idx + m。但是，由于把当前位置的数字删除了，后面的数字会前移一位，所以实际的下一个位置是 idx + m - 1。由于数到末尾会从头继续数，所以最后取模一下，就是 (idx + m - 1) mod n。由于我们需要快速查找删除，所以使用ArrayList而不使用LinkedList
基于 ArrayList 的模拟链表实现代码如下:
class Solution { public int lastRemaining(int n, int m) { List<Integer> list=new ArrayList<>(); for(int i=0;i<n;++i){ list.add(i); } int index=0; while(list.size()>1){ index=(index+m-1)%list.size();
list.remove(index);
}
return list.get(0);
}
}
四、数学解法
这么著名的约瑟夫环问题，是有数学解法的！
1、反推法
因为数据是放在数组里，所以我在数组后面加上了数组的复制，以体现是环状的。我们先忽略图片里的箭头：
很明显我们每次删除的是第 m个数字，我都标红了。
第一轮是 [0, 1, 2, 3, 4] ，所以是 [0, 1, 2, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 2 删除了。
第二轮开始时，从 3 开始，所以是 [3, 4, 0, 1] 这个数组的多个复制。这一轮 0 删除了。
第三轮开始时，从 1 开始，所以是 [1, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 4 删除了。
第四轮开始时，还是从 1 开始，所以是 [1, 3] 这个数组的多个复制。这一轮 1 删除了。
最后剩下的数字是 3。
图中的红色的线指的是新的一轮的开头是怎么指定的，每次都是固定地向前移位 m 个位置。
然后我们从最后剩下的 3 倒着看，我们可以反向推出这个数字在之前每个轮次的位置。
最后剩下的 3 的下标是 0。
第四轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 22，位置是(0 + 3) % 2 = 1。
第三轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 33，位置是(1 + 3) % 3 = 1。
第二轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 44，位置是(1 + 3) % 4 = 0。
第一轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 55，位置是(0 + 3) % 5 = 3。
所以最终剩下的数字的下标就是3。因为数组是从0开始的，所以最终的答案就是3。
总结一下反推的过程，就是 (当前index + m) % 上一轮剩余数字的个数。
代码就很简单了。
class Solution { public int lastRemaining(int n, int m) { int ans=0; for(int i=2;i<=n;++i){ ans=(ans+m)%i; } return ans; } }
将代码写成递归形式如下：
class Solution { public int lastRemaining(int n, int m) { return n==1?0:(lastRemaining(n-1,m)+m)%n; } }
参考文献：
链接：https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/solution/javajie-jue-yue-se-fu-huan-wen-ti-gao-su-ni-wei-sh/
来源：力扣（LeetCode）
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