LeetCode动态规划系列（3）——编辑距离问题求解

一、前言

　　编辑距离算法被数据科学广泛应用，是用作机器翻译和语音识别评价标准的基本算法。

　　最直观的方法是暴力检查所有可能的编辑方法，取最短的一个。所以可能的编辑方法达到指数级，但我们不需要进行这么多计算，因为我们只需要找到距离最短的序列而不是所有可能的序列。

二、问题描述

　　给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

　　你可以对一个单词进行如下三种操作：

1. 插入一个字符
2. 删除一个字符
3. 替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

三、找转态转移方程

　　我们用A=horse,B=ros作为例子

• 在单词 A 中插入一个字符：如果我们知道 horse 到 ro 的编辑距离为 a，那么显然 horse 到 ros 的编辑距离不会超过 a + 1。这是因为我们可以在 a 次操作后将 horse 和 ro 变为相同的字符串，只需要额外的 1 次操作，在单词 A 的末尾添加字符 s，就能在 a + 1 次操作后将 horse 和 ro 变为相同的字符串；
• 删除单词A中的一个字符：如果我们知道 hors 到 ros 的编辑距离为 b，那么显然 horse 到 ros 的编辑距离不会超过 b + 1。我们只需要删除A中最后一个字符e；
• 修改单词 A 的一个字符：如果我们知道 hors 到 ro 的编辑距离为 c，那么显然 horse 到 ros 的编辑距离不会超过 c + 1，只需要将A中的最后一个字符e替换为s。

　　那么从 horse 变成 ros 的编辑距离应该为 min(a + 1, b + 1, c + 1)。这样我们可以进这个问题继续拆分直到：

• 字符串 A 为空，如从‘ ’转换到 ro，显然编辑距离为字符串 B 的长度，这里是 2；
• 字符串 B 为空，如从 horse 转换到‘ ’，显然编辑距离为字符串 A 的长度，这里是 5。

　　因此，我们就可以使用动态规划来解决这个问题了。我们用 D[i][j] 表示 A 的前 i 个字母和 B 的前 j 个字母之间的编辑距离。

　　如上所述，当我们获得 D[i][j-1]，D[i-1][j] 和 D[i-1][j-1] 的值之后就可以计算出 D[i][j]。

• D[i][j-1] 为 A 的前 i 个字符和 B 的前 j - 1 个字符编辑距离的子问题。即对于 B 的第 j 个字符，我们在 A 的末尾添加了一个相同的字符，那么 D[i][j] 最小可以为 D[i][j-1] + 1；
• D[i-1][j] 为 A 的前 i - 1 个字符和 B 的前 j 个字符编辑距离的子问题。即对于 A 的第 i 个字符，我们删除A的末尾的字符，那么 D[i][j] 最小可以为 D[i-1][j] + 1；
• D[i-1][j-1] 为 A 前 i - 1 个字符和 B 的前 j - 1 个字符编辑距离的子问题。即对于 B 的第 j 个字符，我们修改 A 的第 i 个字符使它们相同，那么 D[i][j] 最小可以为 D[i-1][j-1] + 1。特别地，如果 A 的第 i 个字符和 B 的第 j 个字符原本就相同，那么我们实际上不需要进行修改操作。在这种情况下，D[i][j] 最小可以为 D[i-1][j-1]。

　　那么我们可以写出如下的状态转移方程：

　　若 A 和 B 的最后一个字母相同：

　　若 A 和 B 的最后一个字母不同：

　　对于边界情况，一个空串和一个非空串的编辑距离为 D[i][0] = i 和 D[0][j] = j，D[i][0] 相当于对 word1 执行 i 次删除操作，D[0][j] 相当于对 word1执行 j 次插入操作。

　　综上我们得到了算法的全部流程。

四、算法实现

class Solution {
  public int minDistance(String word1, String word2) {
    int n = word1.length();
    int m = word2.length();

    // 有一个字符串为空串
    if (n * m == 0)
      return n + m;

    // DP 数组
    int [][] D = new int[n + 1][m + 1];

    // 边界状态初始化
    for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
      D[i][0] = i;
    }
    for (int j = 0; j < m + 1; j++) {
      D[0][j] = j;
    }

    // 计算所有 DP 值
    for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
      for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
        int down = D[i - 1][j - 1];
        if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
          down -= 1;
        D[i][j] = Math.min(D[i - 1][j]+1, Math.min(down+1, D[i][j-1]+1));
      }
    }
    return D[n][m];
  }
}

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance
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