concrete maths ch2 求和

ch2 求和

1.sigma及相关符号

1. (sumlimits_{i=1}^{n}i) 是确定式，(sumlimits_{1le ile n}i)是一般式。 一般式进行下标换元不容易出错，确定式写代码的时候好写些。

2. 边界问题：越简单越好。

3. Kenneth E. Iverson括号: ([p prime]) 可以用于化简一般式：

   [sumlimits_{p(k)}a_k=sumlimits_{k}a_k[p(k)] ]

4. 值为0的项可以简化求和

2.求和与递归

1. 前缀和可以看成一种递归（递推）

   [S_n=S_{n-1}+a_n ]

2. 插值求出解析式形式。

3. 很多递归可以化为和的形式。比如汉诺塔问题

   [T_n=2T_{n-1}+1\ T_n/2^n = T_{n-1}/2^{n-1}+1/2^n\ T_n/2^n=sumlimits2^{-k} ]

   注意这个除法技巧可以用于所有一阶递推方程，这里的系数可以带n

   [a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n ]

   求了快排的期望比较次数：H_n为调和级数

   [c_n=n+1+2/ncdotsum_{k=0}^{n-1}C_k\ c_n=2(n+1)H_n=2n ]

   3.求和法则

   1.分配律，结合律和交换律 p(k)指置换

   [sum_{kin K}ca_k=csum_{kin K}a_k\ sum_{kin K}(a_k+b_k)=sum_{kin K}a_k+sum_{kin K}b_k\ sum_{kin K}a_k=sum_{p(k)in K}a_{p(k)} \ ]

2.应用：高斯求和的证明。

3.交换律：注意所有的k都要出现一次。

5.不同集合的求和。

[sum_{kin K}a_k+sum_{kin K'}a_k=sum_{kin Kand K'}a_k+sum_{kin K or K'}a_k ]

6.perturbation method 微扰法：分出某些项。比如几何级数（等比数列）求和，差比数列求和证明，分出第一项，使得目标和在等式两边出现。 差比数列也可以求导得到。

4.多重求和

1. 基本法则：交换求和顺序

   [sum_jsum_ka_{j,k}[P(j,k)]=sum_{P(j,k)}a_{j,k}=sum_ksum_ja_{j,k}[P(j,k)] ]

2. 两个变型

   香草（vanilla-favored law）,当j,k是独立时有：（即上面的集合版本）

   [sum_{j in J}sum_{kin K}a_{j,k}=sum_{j in J,kin K}a_{j,k}=sum_{kin K}sum_{j in J}a_{j,k} ]

   石路(rocky-road formula),当内层求和由外层决定时：

   [sum_{j in J}sum_{kin K(j)}a_{j,k}=sum_{k in K'}sum_{jin j'(k)}a_{j,k}\ where [j in J][kin K(j)]=[k in K'][jin j'(k)] ]

   一个应用是：

   [[1le jle n][jle kle n]=[1le jle kle n]=[1le kle n][1le jle k] ]

3. 例子

   线性求出：

   [sum_{1le jle kle n}a_ka_j\ sum_{1le jlt kle n}(a_k-a_j)(b_k-b_j) ]

   用到了这个性质：

   [[1le jle kle n]+[1le kle jle n]=[1le j, kle n]+[1le j= kle n]\ [1le jle kle n]+[1le kle jle n]=[1le j, kle n]-[1le j= kle n] ]

   以及一个定理：没有在求和项的出现的下标，可以在结果上乘该下标集合的大小，然后去掉这个下标。

   第二个求和公式的结果导出了切比雪夫不等式(Chebyshev's monotonic inequalities，本来是积分形式)。

4. 若f是j到k的满射（一一对应），则有

   [sum_{jin J}a_{f(j)}= sum_{f(j)in K}a_{f(j)}=sum_{kin K}a_k ]

   例子：

   [sum_{1le jlt kle n}frac{1}{k-j}=nH_n-n ]

5.n^2 前缀和

0.查表 1.归纳 2.高维微扰 3.差值 4.积分 5.双重求和 6.有限积分(finite calculus) 7.生成函数

6.微分和差分

1. 定义:微分(Infinite calculus，求导)：

   [Df(x)=lim_{h ightarrow 0}frac{f(x+h)-f(x)}{h} ]

   差分(Finite calculus):

   [Delta f(x)=f(x+1)-f(x) ]

2. 下降幂，上升幂（mth power/ "x to the m falling"/falling factorial powers）

   [x^{underline{n}} = x(x-1)cdots (x-n+1)\ x^{overline{n}} = x(x+1)cdots (x+n-1). ]

   我们有

   [Delta x^{underline{m}}=mx^{underline{m-1}} ]

   和

   [sum_{0le klt n}k^{underline{m}}=frac{n^underline{m+1}}{m+1} if m!=-1\ else =H_x|_{b}^{a} ]

   同时也满足二项式展开，以及幂乘

   [x^{underline{m+n}}=x^{underline{m}}(x-m)^{underline{n}} ]

3. 

7.无限求和

玄