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  • hdu6397 Character Encoding 母函数解约束条件下多重集

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6397

    原问题的本质是问m个元素的多重集S,每一种类型的对象至多出现n-1次的S的k组合的个数是多少?

    等价于 x1+x2+...+xm=k  0<xi<=n-1  的解的个数

    当xi没有上限(xi<=n-1)时由隔板法得C(k+m-1,m-1)

    而有上限时,方法是构造母函数(1+x+....+x^(n-1))^m  答案是x^k的系数

    对母函数用等比数列求和再二项式展开加泰勒展开得答案。orz(解法来自知乎,侵删)

    #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
    #include<cmath>
    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    #define rep(i,t,n)  for(int i =(t);i<=(n);++i)
    #define per(i,n,t)  for(int i =(n);i>=(t);--i)
    #define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
    typedef long long ll;
    const int maxn = 5e5 + 10;
    const ll mod = 998244353;
    
    
    int n, m, k;
    
    
    
    ll inv[maxn], f[maxn], fac[maxn];
    ll c[maxn];
    long long kpow(long long a, long long n) {
        long long res = 1;
        while (n > 0) {
            if (n & 1)res = res * a%mod;
            a = a * a%mod;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
    void init() {
        f[0] = 1; f[1] = 2;
        fac[0] = fac[1] = 1;
        inv[1] = 1;
        rep(i, 2, maxn) {
            fac[i] = fac[i - 1] * (ll)i % mod;
            inv[i] = kpow(fac[i], mod - 2);
        }
    }
    ll C(int n, int m) {
        if (n < m) return 0ll;
        if (m == 0 || n == m) return 1ll;
        if (n - 1 == m || m == 1) return n;
        return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
    }
    
    int main() {
        int t;
        cin >> t;
        init();
        while (t--) {
            cin >> n >> m >> k;
            mmm(c, 0);
            ll fl = 1;
            ll ans = 0;
            rep(r, 0, k / n) {
                ans += fl * C(m, r)*C(m + k - n * r - 1, k - n * r) % mod; fl = -fl;
                if (ans < 0)ans += mod;
                ans %= mod;
            }
            cout << ans  << endl;
        }
    
    }
    成功的路并不拥挤,因为大部分人都在颓(笑)
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