题解 P1731 【[NOI1999]生日蛋糕】

解题思路

- 深度优先搜索，枚举什么?

枚举每一层可能的高度和半径。       

- 如何确定搜索范围?

底层蛋糕的最大可能半径和最大可能高度

- 搜索顺序，哪些地方体现搜索顺序?

从底层往上搭蛋糕，而不是从顶层往下搭
在同一层进行尝试的时候，半径和高度都是从大到小试

那么如何剪枝呢？

剪枝

• 剪枝 111 ：搭建过程中发现已建好的面积已经超过目前求得的最优表面积，或者预见到搭完后面积一定会超过目前最优表面积,则停止搭建（最优性剪枝）
• 剪枝 222 ：搭建过程中预见到再往上搭，高度已经无法安排，或者半径已经无法安排，则停止搭建(可行性剪枝）
• 剪枝 333 ：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，一定会超过还缺的体积，则停止搭建(可行性剪枝）
• 剪枝 444 ：搭建过程中发现还没搭的那些层的体积，最大也到不了还缺的体积，则停止搭建(可行性剪枝）

  代码

  #include <iostream>
  #include <vector>
  #include <cstring>
  #include <cmath>
  using namespace std;
  int N,M;
  int minArea = 1 << 30; //最优表面积
  int area = 0; //正在搭建中的蛋糕的表面积
  int minV[30]; // minV[n]表示n层蛋糕最少的体积
  int minA[30]; // minA[n]表示n层蛋糕的最少侧表面积
  int main()
  {
  cin >> N >> M ;//M层蛋糕，体积N
  minV[0] = 0;
  minA[0] = 0;
  for( int i = 1; i<= M; ++ i) {
  minV[i] = minV[i-1] + i * i * i; //第i层半径至少i,高度至少i
  minA[i] = minA[i-1] + 2 * i * i;
  }
  if( minV[M] > N )
      cout << 0 << endl;
  else {
  int maxH = (N - minV[M-1])/(M*M) + 1;//底层最大高度
  //最底层体积不超过 (N-minV[M-1]),且半径至少M
  int maxR = sqrt(double(N-minV[M-1])/M) + 1;//底层高度至少M
  area = 0;
  minArea = 1 << 30;
  Dfs( N,M,maxR,maxH);
  if( minArea == 1 << 30)
      cout << 0 << endl;
  else
      cout << minArea << endl;
  }
  }
  void Dfs(int v, int n,int r,int h)
  //要用n层去凑体积v,最底层半径不能超过r,高度不能超过h
  //求出最小表面积放入 minArea
  {
  if( n == 0 ) {
      if( v )
      return;
      else {
      minArea = min(minArea,area);
      return;
    }
  }
  if( v <= 0)
      return ;
  if( minV[n] > v ) //剪枝3
      return ;
  if( area + minA[n] >= minArea) //剪枝1
      return ;
  if( h < n || r < n ) //剪枝2
      return ;
  if( MaxVforNRH(n,r,h) < v ) //剪枝4
  //这个剪枝最强！没有的话， 5秒都超时，有的话， 10ms过！
      return;
  //for( int rr = n; rr <= r; ++ rr ) { 这种写法比从大到小慢5倍
  for( int rr = r; rr >=n; -- rr ) {
  if( n == M ) //底面积
      area = rr * rr;
  for( int hh = h; hh >= n ; --hh ) {
    area += 2 * rr * hh;
    Dfs(v-rr*rr*hh,n-1,rr-1,hh-1);
    area -= 2 * rr * hh;
  }
  }
  }
  int MaxVforNRH(int n,int r,int h)
  { //求在n层蛋糕，底层最大半径r，最高高度h的情况下，能凑出来的最大体积
  int v = 0;
  for(int i=0;i<n ;++i )
      v+=(r - i ) *(r-i) * (h-i);
  return v;
  }

  还有什么可以改进

  1) 用数组存放 MaxVforNRH(n,r,h)MaxVforNRH(n,r,h)MaxVforNRH(n,r,h) 的计算结果，避免重复计算