函数
函数的几种特性
函数的有界性
设函数 (f(x)) 的定义域为 (D),数集 (X subset D).如果存在数 (K_1) ,使得$$f(x)leq k_1$$对任一 (xin X) 都成立,那么称函数 (f(x)) 在 (X) 上有上界,而 (K_1) 称为函数 (f(x)) 在 (X) 上的一个上界.
同理,如果存在数 (K_2),使得$$f(x)geq k_2$$对任一 (xin X) 都成立,那么称函数 (f(x)) 在 (X) 上有下界,而 (K_2) 称为函数 (f(x)) 在 (X) 上的一个下界.
如果存在正数 (M),使得$$|f(x)|leq M$$对任一 (xin X) 都成立,那么称函数 (f(x)) 在 (X) 上有界.如果这样的 (M) 不存在,就称函数 (f(x)) 在 (X) 上无界.
容易证明,函数 (f(x)) 在 (X) 上有界的充分必要条件是它在 (X) 上既有上界又有下界.
函数的单调性
设函数 (f(x)) 的定义域 (D),区间 (Isubset D),如果对于区间 (I) 上任意两点 (x_1) 和 (x_2),当 (x_1<x_2),$$f(x_1)>f(x_2)$$恒成立,那么称函数 (f(x)) 在区间 (I) 上单调上升的.
同理,如果对于区间 (I) 上任意两点 (x_1) 和 (x_2),当 (x_1<x_2),$$f(x_1)<f(x_2)$$恒成立,那么称函数 (f(x)) 在区间 (I) 上单调减少的.
单调递增和单调减少的函数称为单调函数.
函数的奇偶性
设函数 (f(x)) 的定义域 (D) 关于原点对称.如果对于任一 (xin D),$$f(-x)=f(x)$$恒成立,那么称 (f(x)) 为偶函数.
如果对于任一 (xin D),$$f(-x)=-f(x)$$恒成立,那么称 (f(x)) 为奇函数.
函数的周期性
设函数 (f(x)) 的定义域为 (D).如果存在一个正数 (l),使得对任一 (xin D) 有((xpm l))(in D),且$$f(x+l)=f(x)$$恒成立,那么称函数 (f(x)) 为周期函数,(l) 称为 (f(x)) 的周期,通常说周期函数的周期是指最小正周期.