数列的极限
收敛数列的性质
定义1(极限的唯一性)
如果数列 ({x_n}) 收敛,那么它的极限唯一.
证:用反证法,假设数列 ({x_n}) 同时有 (x_n o a) 和 (x_n o b),且 (a<b).取 (varepsilon=frac{b-a}{2}).
因为 (lim_{n oinfty} x_n=a),所以 (exists) 正整数 (N_1),当 (n>N_1) 时,不等式$$|x_n-a|<frac{b-a}{2}$$都成立.
同理,因为 (lim_{n oinfty} x_n=b),所以 (exists) 正整数 (N_2),当 (n>N_2) 时,不等式$$|x_n-b|<frac{b-a}{2}$$都成立.
取 (N=max{N_1,N_2}),则当 (n>N) 时上面两式同时成立,但是从两式中可以得到 (x_n<frac{b-a}{2}) 和 (x_n>frac{b-a}{2})(这里可能比较玄学,请自行理解一下),这是不可能的,所以就证明了本定义.
定理2(收敛数列的有界性)
如果数列 ({x_n}) 收敛,那么数列 ({x_n}) 一定有界.
证:因为数列 ({x_n}) 收敛,设 (lim_{n o infty}x_n=a),根据数列的极限的定义,对于 (varepsilon=1),(exists) 正整数 (N),当 (n>N) 时,不等式$$|x_n-a|<1$$都成立.于是,当 (n>N) 时,$$|x_n|=|(x_n-a)+a|leq |x_n-a|+|a|<1+|a|.$$取 (M=max{|x_1|,|x_2|,cdots,|x_N|,1+|a|}),那么数列 ({x_n}) 中的一切 (x_n) 都满足不等式$$|x_n|leq M.$$就证明了 ({x_n}) 是有界的.
但是要注意,如果一个数列是有界的,它未必就一定是收敛的.
定理3(收敛数列的保号性)
如果 (lim_{n o infty}=a),且 (a>0)(或 (a<0)),那么存在正整数 (N),当 (n>N) 时,都有 (x_n>0)(或 (x_n<0)).
证:就 (a>0) 的情形证明.由数列的极限的定义,对 (varepsilon=frac{a}{2}>0),(exists) 正整数 (N),当 (n>N) 时,有$$|x_n-a|<frac{a}{2},$$从而$$x_n>a-frac{a}{2}=frac{a}{2}>0.$$
推论:如果数列 ({x_n}) 从某项起有 (x_ngeq 0)(或 (x_nleq 0)),且 (lim_{n oinfty}x_n=a),那么 (ageq 0)(或 (aleq 0)).
具体证明略,可以看看这里.
定理4(收敛数列与其子数列的关系)
如果数列 ({x_n}) 收敛于 (a),那么它的任一子数列也收敛,且极限也是 (a).
证:设数列 ({x_{n_k}}) 是数列 ({x_n}) 的任一子数列.
由于 (lim_{n oinfty}),故 (forall varepsilon>0),(exists) 正整数 (N),当 (n>N) 时,(|x_n-a|<varepsilon) 成立.
取 (K=N),则 (k>K) 时 (n_k>n_Kgeq N).于是 (|x_{n_k}-a|<varepsilon).这就证明了 (lim_{n oinfty}x_{n_k}=a).
由定理4可知,如果数列 ({x_n}) 有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列 ({x_n}) 是发散的.