「高等数学学习笔记 DAY12」

极限的运算法则

定理3

如果 (lim f(x)=A),(lim g(x)=B),那么

1. (lim[f(x)pm g(x)]=lim f(x)pm lim g(x)=A+B);
2. (lim[f(x)cdot g(x)]=lim f(x)cdot lim g(x)=Acdot B);
3. 若又有 (B ot=0),则$$limfrac{f(x)}{g(x)}=frac{lim f(x)}{lim g(x)}=frac{A}{B}.$$

证:(感觉比较显然,但是书上面的证明过于麻烦,可以自己想一下证明方法)

推论1:如果 (lim f(x)) 存在,而 (c) 为常数,那么$$lim[c f(x)]=clim f(x).$$

推论2:如果 (lim f(x)) 存在,而 (n) 是正整数,那么$$lim[f(x)]^n=[lim f(x)]^n$$

定理4

设有数列 ({x_n}) 和 ({y_n}).如果$$lim_{x oinfty}x_n=A,lim_{x oinfty}y_n=B,$$那么

1. (lim_{x oinfty}(x_npm y_n)=A+B);
2. (lim_{x oinfty}(x_ncdot y_n)=Acdot B);
3. 当 (y_n ot=0(n=1,2,dots)) 且 (B ot=0) 时,(lim_{x oinfty}frac{x_n}{y_n}=frac{A}{B}).

定理5

**如果 (g(X)geq f(x)),而 (lim g(x)=A,lim f(x)=B),那么 (Ageq B).