极限运算法则
定理6(符合函数极限运算法则)
设函数 (f[g(x)]) 是由函数 (u=g(x)) 与 (y=f(u)) 复合而成,(f[g(x)]) 在点 (x_0) 的某去心邻域内有定义,若 (lim_{x o x_0}g(x)=u_0),(lim_{u o u_0}f(u)=A) ,且存在 (delta_0>0),当 (xinmathring{U}(x_0,delta_0)) 时,有 (f(x) ot=u_0)) 则$$lim_{x o x_0}f[g(x)]=lim_{u o u_0}f(u)=A$$.
证:按函数极限的定义,要证:(forallvarepsilon>0),(exists delta>0) 使得当 (0<|x-x_0|<delta) 时$$|f[g(x)]-A|<varepsilon$$成立.
由于 (lim_{u o u_0}f(u)=A),(forall varepsilon>0),(exists eta>0),当 (0<|u-u_0|<eta) 时,(|f(u)-A|<varepsilon) 成立.
又由于 (lim_{x o x_0}g(x)=u_0),对于上式得到的 (eta>0),(exists delta_1>0),当 (0<|x-x_0]|<delta_1) 时,(|g(x)-u_0|<eta) 成立.
由假设,当 (xinmathring{U}(x_0,delta_0)) 时,(g(x) ot=u_0).取 (delta=min{delta_0,delta_1}),则当 (0<|x-x_0|<delta) 时,(|g(x)-u_0|<eta) 和 (|g(x)-u_0| ot=0) 同时成立,即 (0<|g(x)-u_0|<eta) 成立,从而$$|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<varepsilon$$成立.