zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 「高等数学学习笔记 DAY16」

    无穷小的比较

    关于两个无穷小的商会出现不同情况,如,当 (x o 0) 时,(3x,x^2,sin x) 都是无穷小,而$$lim_{x o 0}frac{x2}{3x}=0,lim_{x o0}frac{3x}{x2}=infty,lim_{x o0}frac{sin x}{3x}=frac{1}{3}.$$两个无穷小之比的极限各有不同的情况反映了不同无穷小趋近于零的"快慢"程度.就上面的例子来说,在 (x o0) 的过程中,(x^2 o 0)(3x o0)"快".,而 (sin x o0)(3x o0)"快慢相仿".

    下面,我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时,来说明两个无穷小之间的比较.应当注意,下面的 (alpha)(eta) 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,且 (alpha ot=0),(limfrac{eta}{alpha}) 也是在这个变化过程中的极限.

    定义

    如果 (limfrac{eta}{alpha}=0),那么就说 (eta) 是比 (alpha) 高价的无穷小,记作 (eta=o(alpha));

    如果 (limfrac{eta}{alpha}=infty),那么就说 (eta) 是比 (alpha) 低价的无穷小;

    如果 (limfrac{eta}{alpha}=c ot=0),那么就说 (eta) 是比 (alpha) 同价的无穷小;

    如果 (limfrac{eta}{alpha^k}=c ot=0,k>0),那么就说 (eta) 是比 (alpha) (k) 价的无穷小;

    如果 (limfrac{eta}{alpha}=1),那么就说 (eta) 是比 (alpha) 等价的无穷小,记作 (alphasimeta).

    显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即 (c=1) 的情形.

    下面举一个例子:

    因为 (lim_{x o0}frac{3x^2}{x}=0),所以当 (x o0) 时,(3x^2) 是比 (x) 高阶的无穷小,即$$3x^2=o(x)(x o0).$$

    因为 (lim_{n oinfty}frac{frac{1}{n}}{frac{1}{n^2}}=infty),(frac{1}{n}) 是比 (frac{1}{n^2}) 低阶的无穷小.

    因为 (lim_{x o3}frac{x^2-9}{x-3}=6),所以当 (x o 3) 时,(x^3-9)(x-3) 是同阶无穷小.

    因为 (lim_{x o0}frac{1-cos x}{x^2}=frac{1}{2}),所以当 (x o 0) 时,(1-cos x) 是关于 (x) 的二阶无穷小.

    因为 (lim_{x o0}frac{sin x}{x}=1),所以当 (x o0) 时,(sin x)(x) 是等价无穷小,即$$sin xsim x(x o0).$$

  • 相关阅读:
    MSSQL锁定1.Isolation level (myBased)
    等待状态CXPACKET分析
    拒绝了对对象 'sp_sdidebug'(数据库 'master',所有者 'dbo')的 EXECUTE 权限
    Oracle CBO 统计信息的收集与执行计划的选择
    Oracle 11gR1 on Win7
    读书笔记 <<你的知识需要管理>>
    ORA01555 总结
    Buffer Cache Management
    如何选择合适的索引
    书评 <SQL Server 2005 Performance Tuning性能调校> 竟然能够如此的不用心........
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Sxy_Limit/p/12615241.html
Copyright © 2011-2022 走看看