「高等数学学习笔记 DAY24」

闭区间上连续函数的性质

一直连续性

先介绍函数的一直连续性概念.

设函数在区间 (I) 上连续,(x_0) 是在 (I) 上的任意取定的一个点.由于 (f(x)) 在点 (x_0) 连续,因此 (forallvarepsilon>0),(exists delta>0),使得当 (|x-x_0|<delta) 时,就有 (|f(x)-f(x_0)|<varepsilon).通常这个 (delta) 不仅和 (varepsilon) 有关,而且与给定的 (x_0) 有关,即使 (varepsilon) 不变,但选取区间上其他的点作为 (x_0) 时,这个 (delta) 就不一定适用了.对于某些函数缺有一种重要情形:存在着只和 (varepsilon) 有关,而对区间上任何点 (x_0) 都能适用的正数 (delta),即对于 (x_0in I),只要 (|x-x_0|<delta),就有 (|f(x)-f(x_0)|<varepsilon).如果函数 (f(x)) 在区间 (I) 上能使这种情形发生,就说函数 (f(x)) 在区间 (I) 上是一致连续的.

定义

设函数 (f(x)) 在区间 (I) 上有定义.如果对于任意给定的正数 (varepsilon),总存在正数 (delta),使得对于区间 (I) 上的任意两点 (x_1,x_2),当 (|x_1-x_2|<delta) 时,有$$|f(x_1)-f(x_2)|<varepsilon,$$那么称函数 (f(x)) 在区间 (I) 上一致连续.

一致连续性表示,不论在区间 (I) 的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,就可使就可使对于的函数达到所给定的接近程度.

由上述定义可知,如果函数 (f(x)) 在区间 (I) 上一致连续,那么 (f(x)) 在区间 (I) 上也是连续的.但反过来不一定成立.

定理4(一致连续性定理)

如果函数 (f(x)) 在闭区间 ([a,b]) 上连续,那么它在改区间上一直连续.