关于TJOI2014的一道题——Alice and Bob

B Alice and Bob

•输入输出文件: alice.in/alice.out

•源文件名: alice.cpp/alice.c/alice.pas

• 时间限制: 1s 内存限制: 128M

题目描述

Alice 和 Bob 发明了一个新的游戏。给定一个序列{x0,x1,··· ,xn−1}。Alice得 到一个序列 {a0,a1,··· ,an−1}，其中 ai 表示以 xi 结尾的最长上升子序列的长 度；Bob 得到一个序列 {b0,b1,··· ,bn−1}，其中 bi 表示以 xi 开头的最长下降 子序列的长度。Alice的得分是序列 {a0,a1,··· ,an−1} 的和，Bob的得分是 {b0,b1,··· ,bn−1}的和。 输输输入入入 输入的第一行是 n，第二行是序列{a0,a1,··· ,an−1}。数据保证序列 a 可以由 至少一个 1 到 n 的排列得到。

输出
输出包含一行，表示 Bob 能得到的最高分数。
样例输入1
4 1 2 2 3
样例输出1
5
样例输入2
4 1 1 2 3
样例输出2
5
数据范围 对于 30%

的数据，N ≤ 1000

对于 100% 的数据，N ≤ 10^5

这道题一看到的时候觉得可做，马上写出了一个转移方程 f[i]表示从后往前值为 i 时最长的答案，觉得似乎只能从后面 的 a值小于i的地方转移过来，然后就比SCOIDay1T1简单，用同样的思路加树状数组就出来了。但是后来再检查的时候仔细推了一下，发现有些不对。

对于两个位置p,q(p<q) 如果a[p]>=a[q] 那么x[p]>x[q] ,这一点很显而易见，但是如果a[p]<a[q]并不能推出x[p]<x[q]比如x为1 6 2 5 3 4时a值为1 2 2 3 3 4 a[2]<a[6]但是x[2]>x[6]，所以说有一定问题。我们发现，如果满足a[p]<a[q]&&x[p]>x[q]则一定存在另一个序列从p后面等于a[p]这个值开始，不断累加可以得到，比如a[2]后面a[3]==a[2] ,a[4]==a[3]+1,a[6]==a[4]+1，所以第6个位置可能比第二个位置小

然后就得到了一个暴力的方法，小于的像原来那样弄，大于的N^2来搞，这样子可以得30分

然后想优化，思想上比较麻烦，写起来很简单，直接看代码吧：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int lowbit(int x) {return x&-x;}

int num[100010];
int n;
void change(int data,int pos)
{
    while (pos<=n)
    {
        num[pos]=max(num[pos],data);
        pos+=lowbit(pos);
    }
}

int getans(int pos)
{
    int ret=0;
    while (pos>0)
    {
        ret=max(ret,num[pos]);
        pos-=lowbit(pos);
    }
    return ret;
}

int a[100010];
int f[100010];
int fself[100010];
int nextc[100010];
int nextb[100010];
int last[100010];
int maxd[100010];
void pre()
{
    for (int i=n;i>=1;--i)
    {
        nextc[i]=last[a[i]];
        last[a[i]]=i;
        nextb[i]=last[a[i]+1];
    }
}

void trans(int k)
{
    fself[k]=fself[nextb[k]];
    fself[k]=max(fself[k],maxd[a[k]]);
}

int getbigans(int k)
{
    return fself[nextc[k]]+1;
}

int viodp()
{
    int ret=0;
    for (int i=n;i>=1;--i)
    {
        f[i]=1;
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            if (a[j]<=a[i])
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
        int now=a[i];
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            if (a[j]<=now&&a[j]>a[i])
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
            if (a[j]==now)
            {
                now=now+1;
            }
        }    
        ret+=f[i];
    }
//    cout<<endl;
    return ret;
}

long long dp()
{
    long long ret=0;
    for (int i=n;i>=1;--i)
    {
        int f=getans(a[i])+1;
        f=max(f,getbigans(i));
        maxd[a[i]]=max(maxd[a[i]],f);
        trans(i);
        change(f,a[i]);
        ret+=f;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    freopen ("alice.in","r",stdin);
    freopen ("alice.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    if (n<=1000)
    {
        cout<<viodp()<<endl;
        return 0;
    }
    pre();
    cout<<dp()<<endl;
    return 0;
}

Viodp就是暴力的DP

自己看着理解理解吧。。。其实我觉得这道DP不错，有些意思。似乎其他人写了什么拓扑排序只有50分。