左偏树详解

左偏树是一种比较常用的可并堆。那什么是可并堆呢？可并堆，顾名思义，是一种除了支持堆的基本操作外，还支持合并等操作的数据结构，如斜堆，左偏树，二项堆，配对堆，斐波那契堆等。

左偏树写起来不难，跑起来也不错 是一个老少咸宜的数据结构

讲解之前先放一张左偏树的概念图：

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相关定义

• 外节点：只有一个儿子或没有儿子的节点，即左右儿子至少有一个为空节点的节点

• 距离：一个节点到离它最近的外节点的距离，即两节点之间路径的权值和。特别地，外节点的距离为$0$，空节点的距离为$-1$

• 左偏树：一种满足左偏性质的堆有序二叉树（左偏树的左偏性质体现在左儿子的距离大于右儿子的距离）

• 左偏树的距离：我们将一棵左偏树根节点的距离作为该树的距离

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性质

• 满足堆的基本性质

• 对于任意节点，左儿子的距离大于右儿子的距离

• 对于任意节点，其距离等于它的右儿子的距离加一

• 对于一棵$n$个节点的左偏树，其根节点的距离不超过$log^N$

• 对于一棵距离为$d$的左偏树，其节点数不少于$2^{k+1}-1$

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节点信息

左偏树一般存储以下几个节点信息，这里先写出来，方便之后的讲述。（具体实现时还是要根据题目需求来存储信息，这里给出几个基本的）

• $val$：权值
• $lson$：左儿子
• $rson$：右儿子
• $dist$：距离
• $father$：父亲

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基本操作

合并

合并是左偏树最重要的操作，毕竟可并堆可并堆，肯定是要能够合并的。

定义一个函数$Merge(x,y)$表示合并$x,y$，返回值为合并后的根节点。具体实现流程如下：

1.  设$x$是$x,y$中权值较小的一个，即$val_xleq val_y$（若$x$的权值大于$y$，交换$x,y$即可）。递归地向下合并，在$x$的右子树最右链中找到第一个权值大于$y$的权值的节点$k$，将$y$作为$k$的父亲。

（若$x$的权值大于$y$，交换$x,y$即可）。递归地向下合并，在$x$的右子树最右链中找到第一个权值大于$y$的权值的节点$k$，将$y$作为$k$的父亲。

2.继续递归，合并$y$的右子树和$k$的右子树，直到$x$或$y$为空。

3.在合并的过程中注意维护左偏性质，即若左儿子的距离小于右儿子的距离，则交换左右儿子。

合并代码：

int Merge(int x,int y)
{
    if(!x || !y)
        return x+y;
    if(v(x)>v(y) ||(v(x)==v(y) && x>y))
        swap(x,y);
    int &ls=l(x),&rs=r(x);
    rs=Merge(rs,y);
    f(rs)=x;
    if(d(ls)<d(rs))
        swap(ls,rs);
    d(x)=d(rs)+1;
    return x;
}

删除根节点

只要先删除根节点，即将根节点的权值赋为$-1$（其实有的时候不改权值也没影响），然后合并根节点的左右子树就可以了。

删除根节点代码：

void Delroot(int x)
{
    int ls=l(x),rs=r(x);
    v(x)=-1,f(ls)=0,f(rs)=0;
    Merge(ls,rs);
}

删除任意节点

这里的任意节点指的是任意编号的节点而不是任意权值的节点，一般的可并堆是不支持删除给定权值节点的操作的。

与删除根节点类似，先将要删除的节点的权值赋值为$-1$，然后合并它的左右子树，将合并后新的左偏树接到被删除节点的父节点上就可以了。但是与删除根节点不同的是，这个操作可能会导致整棵左偏树的左偏性质被破坏，因此要从该节点一直向上检查左偏性质，直到左偏性质没有被破坏或者到达了根节点。

删除节点代码：

void Delete(int x)
{
    int fx=f(x),p=Merge(l(x),r(x));
    int &ls=l(fx),&rs=r(fx);
    f(p)=fx;
    ls==x?ls=p:rs=p;
    while(p)
    {
        if(d(ls)<d(rs))
            swap(ls,rs);
        if(d(fx)==d(rs)+1)
            return ;
        d(fx)=d(rs)+1;
        p=fx,fx=f(x);
        ls=l(fx),rs=r(fx);
    }
}

建树

暴力加点合并的话时间复杂度是$O(nlogn)$，令人难以接受，因此我们需要一个比较高效的方法来实现建树。

建树有以下几个步骤：

1. 建立一个队列，将每个节点看作一个节点数为$1$的左偏树加入队列。
2. 每次取出队头的两棵左偏树，将它们合并，并将合并后的新左偏树加入队列。
3. 重复第$2$步，直到队列为空。

建树代码：

void Build()
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q.push(i);
    int x,y;
    while(q.size())
    {
        x=q.front();q.pop();
        y=q.front();q.pop();
        q.push(Merge(x,y));
    }
}

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习题：

• 模板题：P3377（可能需要使用并查集）

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参考资料：

• 洛谷日报#103
• 这位巨佬的PPT

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2019.7.11 于厦门外国语学校石狮分校