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  • 【算法•日更•第二十一期】数据结构:差分与前缀和

    ▎前言

      首先来说明一下,查分和前缀和并不像数据结构,更多的是技巧,只不过是被归类为数据结构中的东西。

    ▎前缀和

    『什么是前缀和?』

      前缀和其实就是给定一个数列,pre[i]存储前i个数的和的意思。

      显然,我们可以得到一个公式:pre[i]=pre[i-1]+a[i]。

    『前缀和有什么用?』

      快速查询一个区间[l,r]的和。

      显然,我们又得到了一个式子:[l,r]的和=pre[r]-pre[l-1]。

    『前缀和的应用』

      线段树,树状数组等。

    ▎差分

    『什么是差分?』

      差分,又名差分函数或差分运算,差分的结果反映了离散量之间的一种变化,是研究离散数学的一种工具,常用函数差近似导数。
    差分在数学、物理和信息学中应用很广泛,模拟电路中有差分放大电路 [1]  一说。差分运算,相应于微分运算。(copy自百度)
      什么?你竟然问我什么是差分!其实你已经会了,刚才在说前缀和时就已经讲过了[l,r]的和=pre[r]-pre[l-1],这就是差分。
      其实这些都只是小技巧,很简单,也常用,那么我们继续拓展一下。
    ▎二维前缀和
      在刚才,我们已经学会了一维前缀和,那么增到二维会怎样?
      现在我们知道的都变了,已知一个矩阵,每次询问子矩阵的和。
      
      (copy自洛谷zcysky的ppt)

      那么我们可以很容易的知道pre[i][j]=pre[i–1][j]+pre[i][j–1]-pre[i–1][j–1]+a[i][j]的公式,但是为什么又加上了a[i][j]呢?因为这一部分被减了两次,所以要加回来。

      就是这么简单,就不过多解释了。

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