I-country 题解报告

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【题目大意】

在n*m的矩阵中，每个格子都有一个权值a，求一个包含k个格子的凸连通块，使这个连通块中的格子的权值和最大。

【思路分析】

任何一个凸连通块都可以分成连续的若干行，每行的左端点列号先递减后递增，右端点列号先递增后递减。我们可以依次考虑从n*m矩阵中的每一行中选择哪些格子来构成所求的凸连通块，那么我们需要关注的信息有：

1.当前已经处理完的行数i

2.已经选出的格子数j

3.当前行已选格子的左端位置l——为了确定下一行左端点的范围，以满足单调性

4.当前行已选格子的右端位置r——为了确定下一行右端点的范围，以满足单调性

5.当前左侧轮廓的单调性类型x——递增(0)还是递减(1)

6.当前右侧轮廓的单调性类型y——递增(0)还是递减(1)

于是我们设f[i][j][l][k][x][y]表示前i行选了j个格子，其中第i行选择了第l到r个格子，左边界单调性为x，右边界单调性为y时，构成的凸连通块的最大权值之和。

接着可以列出状态转移方程：

1.左减右增

$$f[i][j][l][r][1][0]=sum_{p=l}^{r}a[i][p]$$

$$if(j=r-l+1>0) o f[i][j][l][r][1][0]+=f[i-1][0][0][0][1][0]$$

$$if(j>r-l+1>0) o f[i][j][l][r][1][0]+=max{f[i-1][j-(r-l+1)][p][q][1][0]}(lle ple qle r)$$

2.左减右减

$$f[i][j][l][r][1][1]=sum_{p=l}^{r}a[i][p]+max{max{f[i-1][j-(r-l+1)][p][q][1][y]}(0le yle 1)}(lle ple rle q)$$

3.左增右增

$$f[i][j][l][r][0][0]=sum_{p=l}^{r}a[i][p]+max{max{f[i-1][j-(r-l+1)][p][q][x][0]}(0le xle 1)}(lle ple rle q)$$

4.左增右减

$$f[i][j][l][r][0][1]=sum_{p=l}^{r}a[i][p]+max{max{max{f[i-1][j-(r-l+1)][p][q][x][y]}(0le yle 1)}(0le xle 1)}(lle ple rle q)$$

初始值：f[i][0][0][0][1][0]=0

目标：$max{f[i][k][l][r][x][y]}$

因为本题还要输出方案，所以我们可以用一个数组在DP过程中记录最优解是由哪一个状态转移过来的，这样就可以在最后递归一下得到方案了。

【代码实现】

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define go(i,a,b) for(rg int i=a;i<=b;i++)
#define back(i,a,b) for(rg int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
int n,m,k,ans=0;
int a[16][16],f[16][226][16][16][2][2];
struct point{
    int l,r,x,y;
}tag[16][226][16][16][2][2];
int ans1,ans2,ans3,ans4,ans5,ans6;
void print(int a1,int a2,int a3,int a4,int a5,int a6){
    if(!a1||!a2) return;
    print(a1-1,a2-(a4-a3+1),tag[a1][a2][a3][a4][a5][a6].l,tag[a1][a2][a3][a4][a5][a6].r,tag[a1][a2][a3][a4][a5][a6].x,tag[a1][a2][a3][a4][a5][a6].y);
    go(i,a3,a4)
        printf("%d %d
",a1,i);
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    go(i,1,n)go(j,1,m) scanf("%d",&a[i][j]),a[i][j]+=a[i][j-1];
    go(i,1,n) go(j,1,k) go(l,1,m) go(r,l,m){
        int sum=a[i][r]-a[i][l-1],len=r-l+1;
        if(j<len) break;
        //注意循环边界的变化
        go(p,l,r) go(q,p,r)
            if(f[i][j][l][r][1][0]<sum+f[i-1][j-len][p][q][1][0])
                f[i][j][l][r][1][0]=sum+f[i-1][j-len][p][q][1][0],tag[i][j][l][r][1][0]=(point){p,q,1,0};
        go(p,l,r) go(q,r,m) go(y,0,1)
            if(f[i][j][l][r][1][1]<sum+f[i-1][j-len][p][q][1][y])
                f[i][j][l][r][1][1]=sum+f[i-1][j-len][p][q][1][y],tag[i][j][l][r][1][1]=(point){p,q,1,y};
        go(p,1,l) go(q,l,r) go(x,0,1)
            if(f[i][j][l][r][0][0]<sum+f[i-1][j-len][p][q][x][0])
                f[i][j][l][r][0][0]=sum+f[i-1][j-len][p][q][x][0],tag[i][j][l][r][0][0]=(point){p,q,x,0};
        go(p,1,l) go(q,r,m) go(x,0,1) go(y,0,1)
            if(f[i][j][l][r][0][1]<sum+f[i-1][j-len][p][q][x][y])
                f[i][j][l][r][0][1]=sum+f[i-1][j-len][p][q][x][y],tag[i][j][l][r][0][1]=(point){p,q,x,y};
        if(j!=k) continue;
        go(x,0,1) go(y,0,1)
            if(ans<f[i][j][l][r][x][y])
                ans=f[i][j][l][r][x][y],ans1=i,ans2=j,ans3=l,ans4=r,ans5=x,ans6=y;
    }
    printf("Oil : %d
",ans);
    print(ans1,ans2,ans3,ans4,ans5,ans6);
    return 0;
}