博弈论-巴什博奕

问题描述：

有一堆物品，共n个，两人轮流从这堆物品中取，规定每次至少取一个，至多m个，获胜条件分为两种，分别是最后取光者胜或者是最后取光者败。

情形一：最后取光者胜

分析：

            若n=m+1,则无论先手取走多少，后手一定可以一次性取走剩下的全部物品，这时后手胜；

            若n=(m+1)*r+s，且s<=m,r为任意自然数，此时先手只要先取s个，那么后手取k个（k<=m），然后先手再取m+1-k个，也就是某一组m+1个中的剩下的物品，这时候总数成为（m+1）*(r-1)，所以局面成为（m+1）的任意倍，那么在接下来的游戏过程中，无论后手取多少，先手总可以取走对应的数目从而使得总数恢复到（m+1）的整数倍，一直这样下去，先手必胜。

因此，我们总结一下，在这样的游戏规则下，求k=n%(m+1)，若k不为0，则此时相当于k就是上文中提到的s，所以先手必胜，若k为0呢，则先手面临的就是当前总数为(m+1)的整数倍的情形，所以必败。

可能我们会想：为什么一定是m+1的整数倍呢？就因为我们是从n=m+1开始分析的吗？当然不是这样的，因为以(m+1)的整数倍作为判断标准可以穷尽全部情况，假设我们修改一下上文中的公式，改成:n=(m+2)*r+s(s<=m)，我们可以提取出一个r来，变成：n=(m+1)*r+s+r，所以呢，此时我们完全可以将s+r整体当做新的s,或者把它称作s'，当然，此时s'很有可能已经超过了m+1，但我们就可以提取出其中（m+1）的部分来，与前面的式子合并，最后就变成了n=(m+1)*(r+1)+s'-(m+1)，这就又归结到了最初的那个公式当中，所以千变万化逃不出开始的公式，也就是穷尽了所有的情况~

情形二：最后取光者败

求k=(n-1)%(m+1),若k=0,则后手胜，若k！=0,则先手胜。

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1.取石子（一）

代码：

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <map>


#define I scanf
#define OL puts
#define O printf
#define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++)
#define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++)
#define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--)
#define LEN 1000
#define MAX 1<<30
#define V vector<int>

using namespace std;

int main(){
//    freopen("D:\CbWorkspace\博弈论\取石子（一）.txt","r",stdin);
    int T,n,m;
    I("%d",&T);
    while(T--){
        I("%d%d",&n,&m);
        int k=n%(m+1);
        if(k) puts("Win");
        else  puts("Lose");
    }
    return 0;
}

理解：

直接套用ｋ＝ｎ％（ｍ＋１）的公式，如果ｋ＝＝０，后手胜，否则先手胜。

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 2.Public Sale

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#include <math.h>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <map>


#define I scanf
#define OL puts
#define O printf
#define F(a,b,c) for(a=b;a<c;a++)
#define FF(a,b) for(a=0;a<b;a++)
#define FG(a,b) for(a=b-1;a>=0;a--)
#define LEN 1000
#define MAX 1<<30
#define V vector<int>

using namespace std;

int main(){
    freopen("D:\CbWorkspace\博弈论\Public sale.txt","r",stdin);
    int m,n;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        int k=n%(m+1);
        if(n<=m){
            while(k<=m){
                O("%d",k);
                if(k!=m) O(" ");
                k++;
            }
            puts("");
        }else{
            if(k) O("%d
",k);
            else puts("none");
        }
    }
    return 0;
}

理解：

经典模型的变形

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