三种用递归实现的枚举形式：指数、排列和组合

这是算法进阶上的三个例子。

一、指数型枚举

从 1~n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好1个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤n≤15

　　每个点有选或不选两种状态，故共有2^n种排列。直接在每次缩小问题时枚举选或不选当前数字两种状态。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
int n;
vector<int> sel;
void cal(int x) {
    if (x == n + 1) {
        for (int i = 0; i < sel.size(); ++i)
            printf("%d ", sel[i]);
        putchar('
');
        return;
    }
    cal(x + 1);
    sel.push_back(x);
    cal(x + 1);
    sel.pop_back();
    return;
}
int main() {
    cin >> n;
    cal(1);
}

　　当然，我们有更神奇的递推做法来枚举二进制子集。（我对它的正确性理解不能

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int s = (1 << n) - 1;
    for (int i = s; i; i = (i - 1) & s) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) if (i >> j & 1)
            printf("%d ", j + 1);
        putchar('
');
    }
    putchar('
');
    return 0;
}

二、递归实现组合型枚举

从 1~n 这 n 个整数中随机选出 m 个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

两个整数 n,m ,在同一行用空格隔开。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行1个。

首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面（例如1 3 5 7排在1 3 6 8前面）。

数据范围

n>0 ,
0≤m≤n ,
n+(n−m)≤25

　　要保证选m个，给指数型枚举加上一个剪枝就好了。如果要按字典序枚举，只要从小到大枚举数字，优先选择选当前的数递归即可。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
int n, m;
vector<int> sel;
void cal(int x) {
    if (sel.size() > m || sel.size() + (n - x + 1) < m)
        return;
    if (x == n + 1) {
        for (int i = 0; i < sel.size(); ++i)
            printf("%d ", sel[i]);
        putchar('
');
        return;
    }
    sel.push_back(x);
    cal(x + 1);
    sel.pop_back();
    cal(x + 1);
    return;
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    cal(1);
}

（20.4.25更新）改良上述方法，无需剪枝，只要保证每次从当前数列最后一项向上枚举下一项即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[11], n, m;
void cal(int k) {
    if (k == m + 1) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d ", a[i]);
        putchar('
');
        return;
    }
    for (int i = a[k-1]+1; i <= n; ++i) {
        a[k] = i;
        cal(k + 1);
    }
    return;
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    cal(1);
}

三、递归实现排列型枚举

　　枚举全排列用库函数next_permutation()即可。用递归来实现的话，我们从当前未选择的数中从小到大枚举下一个位置上的数，同样可以保证按字典序枚举。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[11], n;
bool vis[11];
void cal(int k) {
    if (k == n + 1) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d ", a[i]);
        putchar('
');
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (vis[i]) continue;
        a[k] = i;
        vis[i] = true;
        cal(k + 1);
        vis[i] = false;
    }
    return;
}
int main() {
    cin >> n;
    cal(1);
}
int mainx() {  //库函数实现
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = i;
    do {
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d ", a[i]);
        putchar('
');
    } while (next_permutation(a + 1, a + 1 + n));
    return 0;
}