傅里叶变换的物理意义

用三角函数表示周期函数

傅里叶的相关理论始于下面假设：对于周期为1的信号$f(t)$，可以由不同频率的三角函数组成，

$f(t) = frac{a_0}{2}+displaystyle{sum^{infty}_{k=1}}(a_kcos(2pi kt)+b_ksin(2pi kt))$

组成的基础波形为一个信号对，分别为$cos(2pi t)$以及$sin(2pi t)$，波形的频率覆盖范围为$k=1,2,3,cdots$（角频率为$2pi k$），在这些频率上的系数（即振幅）对为$(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3),cdots$。

傅里叶级数

上面的式子可以进一步推导成傅里叶级数形式：

$f(t) = displaystyle{sum^{infty}_{k=-infty}C_ke^{2pi ikt} }$

从这个表现形式看出，组成的基础波形为$e^{2pi it}$，波形的频率覆盖范围是$k=0,pm 1,pm 2,pm 3,cdots$（角频率为$2pi k$），在这些频率上的系数为$C_0, C_{pm 1}, C_{pm 2}, C_{pm 3}, cdots$，这些系数由下面的式子得到：

$C_k = displaystyle{int_{0}^{1}f(t)e^{-2pi ikt}dt}$

如果我们把记录信号在时间上的值的函数$f(t)$称作该信号在时域上的表现的话，那么该信号在频率$k$上的系数$C_k$就是该信号在频域上的表现。傅里叶系数的物理意义就是信号在对应频率上的振幅。

傅里叶变换

为了把傅里叶的理论应用到一般信号，我们把周期扩展到$T oinfty$，那么信号$f(t)$的傅里叶级数变成：

$f(t) = displaystyle{lim_{T oinfty}sum_{k=-infty}^{infty}C_ke^{2pi ifrac{k}{T}t} }$

此时的傅里叶系数变成：

$C_k = displaystyle{lim_{T oinfty}frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-2pi ifrac{k}{T}t}dt }$

可以看到由于信号$f(t)$在$(-infty,infty)$上是可积的，当$T$被扩展到无穷的时候傅里叶系数$C_k$被稀释成$0$了，因此可以认为一般信号在各个频率上的傅里叶系数（振幅）为$0$。这种结果对于我们进行傅里叶分析是没有用处的，因此有了如下傅里叶变换：

令

$displaystyle{mathcal{F} f(s) =C_k imes T = int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i st}f(t)dt }$

其中$s = frac{k}{T}$，即原本是离散的频率$k$被扩展成了覆盖$(-infty,infty)$的连续变量$s$，因此可以得到

$f(t) = displaystyle{int_{-infty}^{infty}mathcal{F} f(s)e^{2pi ist}ds }$

其中$ds = frac{1}{T}$，$s$是可以覆盖所有频率的变量。

$displaystyle{mathcal{F} f(s) }$就是信号$f(t)$的傅里叶变换。但此时傅里叶变换不再具有傅里叶系数的物理意义。

傅里叶变换的物理意义

Plancherel's Formula

Plancherel's Formula有如下定义：

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}f(t)overline{g(t)}\,dt=int_{-infty}^{infty}F(s)overline{G(s)}\,ds}$

证明：

$egin{align*}int_{-infty}^{infty}f(t)overline{g(t)}\,dt
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}F(s)e^{2pi ist}\,ds ight )overline{left(int_{-infty}^{infty}G(s')e^{2pi is't}\,ds' ight )}\,dt \
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}F(s)e^{2pi ist}\,ds ight )left(int_{-infty}^{infty}overline{G(s')}e^{-2pi is't}\,ds' ight )\,dt \
&=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}F(s)overline{G(s')}int_{-infty}^{infty}e^{2pi i(s-s')t}\,dt\,ds'\,ds \
&=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}F(s)overline{G(s')}delta(s'-s)\,ds'\,dsqquad mathcal{F}e^{2pi ist} = delta(s'-s) ,variable is s'\
&=int_{-infty}^{infty}F(s)int_{-infty}^{infty}overline{G(s')}delta(s'-s)\,ds'\,\,ds \
&=int_{-infty}^{infty}F(s)\,overline{G(s)}\,ds qquad delta shift theorem\
end{align*}$

Energy Spectral Density

根据Plancherel's Formula，可以得到

$egin{align*}
int_{-infty}^{infty}|f(t)|^2\,dt
&=int_{-infty}^{infty}f(t)overline{f(t)}\,dt\
&=int_{-infty}^{infty}F(s)overline{F(s)}\,ds\
&=int_{-infty}^{infty}|F(s)|^2\,ds
end{align*}$

假设有一个物理实验，目的是测量电流通过某个电阻时所产生的能量，已知电阻两端的电势差会随着时间变化，为$V(t)$，电阻的阻抗为$R$，那么所产生的能量为：

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}frac{V(t)^2}{R}dt}$

此时回顾上面所得到的式子

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}|f(t)|^2\,dt=int_{-infty}^{infty}|F(s)|^2\,ds}$

首先是等号左边：其中信号$f(t)$可以认为是电势差随着时间的变化，如果我们忽略电阻抗后，可以认为产生的能量为$displaystyle{int_{-infty}^{infty}|f(t)|^2\,dt}$。等号右边的$s$，按照我们前面的讨论，$s$代表的就是频率，因此$|F(s)|^2$可以看作信号的能量在频域上的能量密度函数（Energy Spectral Density）。如下图，宽度为$ds$的频率所蕴含的能量大小为$|F(s)|^2ds$

如果我们对信号进行带通滤波，那么被过滤掉的频率就无法再继续贡献能量，ESD上就会缺少被过滤掉的频率所对应的区域，相应地傅里叶变换也会缺少被过滤掉的频率所对应的区域。