[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十二. 速降函数、分布

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

速降函数

速降函数$varphi (x)$有如下定义

1) $varphi(x)$无限可微

2) 对于任意$m,n$有

$|x|^nleft| frac{partial ^m}{partial x^m}varphi(x) ight| o 0 quad as quad x o pminfty$

为什么速降函数是傅里叶变换的最佳函数呢？

1) 如果$varphi(x)in S$，那么有$mathcal{F}varphi(s) in S$

2) $varphi in S quad Rightarrow quad mathcal{F}^{-1}mathcal{F}varphi=varphi , mathcal{F}mathcal{F}^{-1}varphi = varphi $

$Pi otin S$，因为不连续。

$Lambda otin S$，因为不可微。

常数，$cos$，$sin$，$ otin S$，因为不速降。

那么我们是否还有其他的函数不属于$S$?为了继续了解这个问题，我们引入了新的概念。

分布（distribution）

这里的分布不同于概率上的分布，它是广义上的函数（generalized function）的名称。

脉冲函数$delta$

$delta$（脉冲函数）是一个典型的分布。

$delta$代表了集中于一点的函数（$delta$ is supposed to represent a function which is concerntrated at a point）,我们利用$Pi$函数的宽度不断缩小来逼近$delta$。

$delta = displaystyle{lim_{varepsilon o 0}frac{1}{varepsilon}Pi_{varepsilon}(x) }$

对$delta$进行积分会得到1。

$int_{-infty}^{infty}frac{1}{varepsilon}Pi_{varepsilon}(x)dx= frac{1}{varepsilon}int_{-frac{varepsilon}{2}}^{frac{varepsilon}{2}}1dx = 1 qquad, varepsilon o 0$

$delta$与某个函数$varphi(x)$相乘后再积分，会有如下结果

$egin{align*}
int_{-infty}^{infty}frac{1}{varepsilon}Pi_{varepsilon}(x)varphi(x)dx
&= frac{1}{varepsilon}int_{-frac{varepsilon}{2}}^{frac{varepsilon}{2}}varphi(x)dx \
&= frac{1}{varepsilon}int_{-frac{varepsilon}{2}}^{frac{varepsilon}{2}}left(varphi(0)+varphi'(0)x+frac{1}{2}varphi''(0)x^2+... ight )dx qquad (Taylor series)\
&= varphi(0)+0(varepsilon) qquad (as varepsilon o 0, terms after varphi(0) turn to 0 )\
&= varphi(0)
end{align*}$

即，

$displaystyle{lim_{varepsilon o 0}int_{-infty}^{infty}frac{1}{varepsilon}Pi_{varepsilon}(x)varphi(x)dx = varphi(0) }$

如果是单单观察$delta$函数，是毫无意义的，但是如果$delta$乘上某个函数再积分，就能得到$f(x)$在$0$点的值，这也是$delta$函数在实际应用中的通常用法。

分布的意义

1) 测试函数$varphi$，即对于当前研究问题的最有函数。对于傅里叶领域，测试函数是速降函数（Schwartz 函数）。

2) 跟这些测试函数相关的，我们称之为广义函数或者分布。一个分布$T$是一个作用于测试函数的线性算子，它作用于测试函数后会产生一个数值，即$T(varphi)$会得到一个数。$T$是$varphi$的线性泛函，即有

$T(varphi_1+varphi_2) = T(varphi_1)+T(varphi_2) quad , quad T(avarphi) = aT(varphi)$

3) 如果$varphi_n$是一个函数序列，它收敛于$varphi$，那么如果用$T$作用于$varphi_n$，他将收敛于$T$作用于$varphi$。

$varphi_n o varphi quad Rightarrow quad T(varphi_n) o T(varphi)$

functions    function        numbers    number   

分布作用于$varphi$，我们通常称之为匹配，记为$<T,varphi>$。（也可以记为$T(varphi)$，但$<T,varphi>$更普遍）。

从分布的角度去看待$delta$

$delta$的作用是用来计算函数在原点处的值，这就是$delta$的定义。给定一个测试函数$varphi$，就可以知道$delta$是如何作用于$varphi$的

$<delta,varphi> = varphi(0)$

线性：

$<delta,varphi_1+varphi_2> = (varphi_1+varphi_2)(0) = varphi_1(0)+varphi_2(0) = <delta,varphi_1>+<delta,varphi_2>$

收敛性：

$<delta,varphi_n> = varphi_n(0)$

$<delta,varphi> = varphi(0)$

函数序列$varphi_n$收敛于函数$varphi$，那它们在零点处的值$varphi_n(0)$肯定也收敛于$varphi(0)$。

$varphi_n o varphi quad Rightarrow quad varphi_n(0) o varphi(0) quad Rightarrow quad <delta, varphi_n> o <delta,varphi>$

$delta$的移位

$displaystyle{int_{-infty}^{infty}delta(x-y)f(y)dy = f(x) }$

该式子表明了$delta$从位置$x$处获得函数$f$的值$f(x)$。我们前面讨论的是$x=0$的情况，在这里，我们定义了一个新的分布$delta_a$

$<delta_a,varphi> = varphi(a)$

匹配运算

我们在讨论速降函数的时候排除了$Pi,Lambda,sin,cos$常数等函数。现在，我们希望把这些函数拉入分布的行列。

比如说，我们怎样把常数函数$f(x) = 1$看作一个分布？

我们首先需要知道它是如何作用于测试函数的，即怎么匹配$1$与$varphi$。

匹配需要产生一个数值，它是通过积分来实现的。

$<1,varphi> = displaystyle{int_{-infty}^{infty}1varphi(x)dx }$

同理

$<Pi,varphi> = displaystyle{int_{-infty}^{infty}Pi(x)varphi(x)dx}$

$<sin2pi x,varphi> = displaystyle{int_{-infty}^{infty}sin2pi xvarphi(x)dx }$

匹配的运算过程，就是通过对$T$与$varphi$的乘积进行积分

$<T,varphi> = displaystyle{int_{-infty}^{infty}T(x)varphi(x)dx }$

并非所有函数都会在匹配后积分收敛，但是大多数的函数，甚至特别奇异的函数都能使得积分收敛，匹配成立，因为测试函数是很优秀的。对于傅里叶变换来说，速降函数作为测试函数就足够优秀，在这种情况下$Pi,Lambda,sin,cos$常数等函数都能作为分布进行积分。