[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十三. 分布的傅里叶变换

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

分布傅里叶变换的定义

在傅里叶变换领域中，测试函数$varphi$选择了速降函数（Schwartz Functions）。与之对应的分布$T$通常被称为缓增分布（Tempered Distributions）。

$<T,varphi>$

 

上式表示了，给定测试函数$varphi$，分布$T$对测试函数$varphi$进行作用，得到的结果为一个数值，该过程也被称为匹配（Pair）。这种作用是通过积分来实现的。

$<T,varphi> = displaystyle{int_{-infty}^{infty}T(x)varphi(x)dx}$

由于速降函数足够优秀，因此其对应的分布——缓增分布（又称缓增广义函数）——能包含绝大多数一般函数甚至奇特的函数。而且，非常重要的一点，我们在十一课的时候已经证明过：速降函数进行正傅里叶变换或逆傅里叶变换后，仍是速降函数。

$mathcal{F}varphi(s)in S quad as quad varphi(x)in S$

$mathcal{F}^{-1}varphi(x) in S quad as quad varphi(s)in S$

缓增分布的傅里叶变换

首先，假设缓增分布$T$可以进行傅里叶变换，变换后为分布$mathcal{F}T$，$mathcal{F}T(x)$对速降函数$varphi(x)$进行作用

$egin{align*}
<mathcal{F}T,varphi>
&=int_{-infty}^{infty}mathcal{F}T(x)varphi(x)dx \
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ixy}T(y)dy ight )varphi(x)dx\
&=int_{-infty}^{infty}left(int_{-infty}^{infty}e^{-2pi ixy}varphi(x)dx ight )T(y)dy\
&=int_{-infty}^{infty}mathcal{F}varphi(y)T(y)dy\
&=<T,mathcal{F}varphi>
end{align*}$

 

由于$varphiin S quad Rightarrow quad mathcal{F}varphi in S$，因此$<T,mathcal{F}varphi>$是有意义的。根据这个结果，可以有以下定义：

• 定义缓增分布$T$的傅里叶变换为$mathcal{F}T$，$mathcal{F}T$作用于速降函数$varphi$就相当于$T$作用于速降函数的傅里叶变换$mathcal{F}varphi$

$<mathcal{F}T,varphi> = <T,mathcal{F}varphi>$

同理可得，分布的傅里叶逆变换如下

$<mathcal{F}^{-1}T,varphi> = <T,mathcal{F}^{-1}varphi>$

分布傅里叶变换的例子

下面请看是如何运用上面得到的定义来求分布的傅里叶变换的

$mathcal{F}delta$

$egin{align*}
<mathcal{F}delta,varphi>
&=<delta,mathcal{F}varphi>\
&=mathcal{F}varphi(0)\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i0x}varphi(x)dx\
&=int_{-infty}^{infty}1cdotvarphi(x)dx\
&=<1,varphi>
end{align*}$

 

因此

$mathcal{F}delta = 1$

 

在$delta$的定义中，我们知道$delta$无限集中于$0$点，我们通过$Pi$函数的极限形式来逼近它。而它的傅里叶变换为$1$，这是均匀散开的。还记得我们曾经在讨论傅里叶缩放的时候讲过——时域的集中会导致频域的分散，这就是一个极端的例子。

$mathcal{F}delta_a$

$egin{align*}
<mathcal{F}delta_a,varphi>
&=<delta_a,mathcal{F}varphi>\
&=mathcal{F}varphi(a)\
&=int_{-infty}^{infty}e^{-2pi iax}varphi(x)dx\
&=<e^{-2pi iax},varphi>
end{align*}$

 

因此

$mathcal{F}delta_a = e^{-2pi iax}$

$mathcal{F}e^{2pi iax}$

$egin{align*}
<mathcal{F}e^{2pi iax},varphi>
&=<e^{2pi iax},mathcal{F}varphi>\
&=int_{-infty}^{infty}e^{2pi iax}mathcal{F}varphi(x)dx\
&=mathcal{F}^{-1}mathcal{F}varphi(a)\
&=varphi(a)\
&=<delta_a,varphi>
end{align*}$

 

因此

$mathcal{F}e^{2pi iax} = delta_a$

 

当$a=0$时，$e^{2pi iax} = 1$，则$mathcal{F}1=delta$。$f(x) = 1$的傅里叶变换为$delta$，这是一个时域分散导致频域集中的极端例子。

$mathcal{F}cos(2pi ax)$

$egin{align*}
mathcal{F}cos(2pi ax)
&= mathcal{F}left( frac{1}{2}(e^{2pi iax}+e^{-2pi iax}) ight ) qquad(Eular Equation)\
&=frac{1}{2}left(mathcal{F}e^{2pi iax} +mathcal{F}e^{-2pi iax} ight)\
&=frac{1}{2}(delta_a+delta_{-a})
end{align*}$

 

$mathcal{F}sin(2pi ax)$

$egin{align*}
mathcal{F}sin(2pi ax)
&= mathcal{F}left( frac{1}{2i}(e^{2pi iax}-e^{-2pi iax}) ight ) qquad (Eular Equation)\
&=frac{1}{2i}left(mathcal{F}e^{2pi iax} -mathcal{F}e^{-2pi iax} ight)\
&=frac{1}{2i}(delta_a-delta_{-a})
end{align*}$

由这些例子可见，在我们把$delta$，常数，$cos$，$sin$引入到缓增分布后，能简单地得出他们的傅里叶变换，而这些都是我们在传统傅里叶变换时无法做到的。