[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十八. 采样定理

采样定理

上节课我们推导了采样定理的公式，该公式可以说是本课程最重要的公式。

设有带宽为$p$的函数$f(t)$，在频域对这个函数用$Ш_p$进行周期化后，再用$Pi_p$对它进行裁剪，得到的还是原来的函数

$mathcal{F}f = Pi_p(mathcal{F}f*Ш_p)$

 

最终推导得到

$f(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}f(frac{k}{p})sinc left(p(t-frac{k}{p}) ight) }$

 

在上式中，$p$可被称为抽样速率，即每秒的抽样数目。同时$p$也被称为奈奎斯特速率（Nyquist rate）。

抽样速率比$p$高

设实际的抽样速率为$p'$，$p'>p$，这时仍可以使用上述公式。

这表明实际的抽样间隔为$frac{1}{p'}$，$frac{1}{p'}<frac{1}{p}$，此时需要更多的抽样点，而所有的推导结果还是正确的。

相悖的时间与频率

采样定理的公式，依赖于函数上无限个采样值$f(frac{k}{p}) $，根据这些采样值我们能从公式得到原函数$f(t)$。而在实际应用中，我们只能得到有限项的采样值，这会导致计算产生误差。

一个信号不可能同时在时间与频率都受限。

这句话的意思是

$left.egin{matrix}
&if & mathcal{F}f(s) equiv 0 &for &|s|geqslantfrac{p}{2} \
&then & f(t) otequiv 0 &for &t sufficiently large
end{matrix} ight.$

即，如果一个信号在频率上是受限的，它在时间上的有限远处必然还存在不为$0$的值。同理，如果一个信号在时间上是受限的，它在频率的有限远处也必然还存在不为$0$的值。

$left.egin{matrix}
&if &f(t)  equiv 0 &for &tgeqslantfrac{p}{2} \
&then & mathcal{F}f(s) otequiv 0 &for &s sufficiently large
end{matrix} ight.$

由于时间与频率有着这样的关系，因此，对于有限带宽的函数，是不能从有限项抽样就能得出原函数的整体样貌的。

关于为何有限带宽函数在时间上的有限远处必然还存在不为$0$的值，由如下推导证明

$mathcal{F}f = Pi_p(mathcal{F}f)$

一个有限带宽函数被$Pi_p$截断仍然是原本的函数，即

$egin{align*}
f(t)
&=mathcal{F}^{-1}(Pi_p(mathcal{F}f))\
&=(mathcal{F}^{-1}Pi_p)*(mathcal{F}^{-1}mathcal{F}f) qquad (Fourier Convolution Theorem)\
&=psinc(pt)*f(t)
end{align*}$

因此，对于有限带宽为$p$的函数$f(t)$，有

$f(t) = psinc(pt)*f(t)$

 

对于等式的右边，$sinc$函数是无限延伸的，它在有限远处必然有不为$0$的值，因此$f(t)$与它的卷积也会在有限远处有不为$0$的值。

在实际情况中，信号的时间与频率都是受限的，因为我们不可能无穷地测量，这就是实际情况与数学理论的冲突。

抽样速率比$p$低（混叠）

当抽样速率为$p'$，$p'<p$时，周期化的频谱会出现重叠

重叠会导致叠加，从而重叠部分的频率曲线上升

用$Pi_{p'}$截断后，得到的并不是原始函数的傅里叶变换。

它的逆傅里叶变换为

$mathcal{F}^{-1}(Pi_{p'}(mathcal{F}f*Ш_p))=displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}f(frac{k}{p'})sinc(p'(t-frac{k}{p'})) }$

但是这并不是$f(t)$，因为$mathcal{F}f eq Pi_{p'}(mathcal{F}f*Ш_{p'})$。我们把这结果称为$g(t)$

$g(t) = displaystyle{sum_{k=-infty}^{infty}f(frac{k}{p'})sinc(p'(t-frac{k}{p'})) }$

$f(t)$与$g(t)$在抽样点$frac{m}{p'}$（$m$为任意整数）上是相等的。

$egin{align*}
g(frac{m}{p'})
&=sum_{k=-infty}^{infty}f(frac{k}{p'})sincleft(p'(frac{m}{p'}-frac{k}{p'}) ight)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}f(frac{k}{p'})sinc(m-k)\
&=sum_{k=-infty}^{infty}f(frac{k}{p'})frac{sin(pi(m-k))}{pi(m-k)} qquad(sinc = frac{sin(pi x)}{x})\
&=f(frac{m}{p'}) qquad
left( sinc(m-k) =  egin{cases}
1 & ext{,} m=k \
0 & ext{,} m eq k
end{cases} ight )
end{align*}$

我们可以说$f(t)$与$g(t)$是混叠的（alias），这意思是$f(t)$与$g(t)$不相等，但是它们在采样点$frac{m}{p'}$上的采样值是相等的。

混叠的例子

有频率为$frac{9}{4}$的函数

$f(t) = cosleft( frac{9pi}{2}t ight)$

它的傅里叶变换为

$mathcal{F}f(s) = frac{1}{2}left( delta(s+frac{9}{4}) + delta(s-frac{9}{4}) ight)$

因此带宽为$p=frac{9}{2}$。

令抽样频率为$1$，意味着$p' = frac{1}{1} = 1$，即有

$egin{align*}
g(t)
&= mathcal{F}^{-1}(Pi_{p'}(mathcal{F}f*Ш_{p'}))\
&= mathcal{F}^{-1}(Pi(mathcal{F}f*Ш)\
&= mathcal{F}^{-1}left(Pileft(frac{1}{2}left(delta(s+frac{9}{4})+delta(s-frac{9}{4}) ight )*sum_{k=-infty}^{infty}delta(s-k) ight) ight)\
&= mathcal{F}^{-1}left(Pileft(frac{1}{2}sum_{k=-infty}^{infty}left(delta(s+frac{9}{4}-k)+delta(s-frac{9}{4}-k) ight ) ight ) ight ) qquad(delta shift property)\
&= mathcal{F}^{-1}left(frac{1}{2}left(delta(s+frac{1}{4})+delta(s-frac{1}{4}) ight ) ight ) qquad (only delta_{frac{1}{4}} and delta_{-frac{1}{4}} in the scope of Pi)\
&= cosleft(frac{pi}{2}t ight )
end{align*}$

推导得到的$g(t)$并不等于$f(t)$，而在采样点$frac{m}{p'} = frac{m}{1} = m$（m为任意整数），即$0,pm 1,pm 2 …$处的采样点是一样的。