[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十一. 离散傅里叶变换的矩阵定义，一些性质

DFT在零点

$underline{mathcal{F}}underline{f}(0) = displaystyle{ sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]e^{-2pi ifrac{n0}{N}} = sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n] }$

还记得傅里叶变换在零点处也有类似的式子

$mathcal{F}f(0) = displaystyle{ int_{-infty}^{infty}f(t)e^{-2pi i0t}dt = int_{-infty}^{infty}f(t)dt }$

如此看来，离散傅里叶变换与傅里叶变换还是很相似的。

典型的离散信号以及它们的DFT

1. 典型的离散信号

离散信号$underline{1}$在各采样点的采样值都为$1$

$underline{1} = (1,1,…,1)$

离散信号$underline{delta_0}$只有在零点处才有为$1$的脉冲

$underline{delta_0} = (1,0,0,…,0)$

离散信号$underline{delta_k}$只有在第$k$项处，才有为$1$的脉冲

$underline{delta_k} = (underbrace{0,0,...,0,1}_{k entries},0,...,0)$

2. 典型离散信号的DFT

对$underline{delta_0}$进行DFT

$underline{mathcal{F}}underline{delta_0} = displaystyle{sum_{n=0}^{N-1}underline{delta_0}[n] underline{omega}^{-n} = underline{delta_0}[0]underline{omega}^0 = 1cdot underline{omega}^0 = (1,1,…,1) = underline{1}}$

因此

$underline{mathcal{F}}underline{delta_0}=underline{1}$

对$underline{delta_k}$进行DFT

$underline{mathcal{F}}underline{delta_k} = displaystyle{sum_{n=0}^{N-1}underline{delta_k}[n] underline{omega}^{-n} = underline{delta_k}[k]underline{omega}^{-k} = 1cdot underline{omega}^{-k} = underline{omega}^{-k}}$

因此

$underline{mathcal{F}}underline{delta_k} = underline{omega}^{-k}$

对$underline{omega}^{k}$进行DFT

$egin{align*}
underline{mathcal{F}}underline{omega}^{k}[m]
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{omega}^k[n]underline{omega}^{-n}[m]\
&=sum_{n=0}^{N-1}e^{2pi ifrac{kn}{N}}cdot e^{-2pi ifrac{mn}{N}}\
&=underline{omega}^kcdotunderline{omega}^m\
&=egin{cases}
0 & ext{ , } k eq m \
N & ext{ , } k= m
end{cases}
end{align*}$

因此

$underline{mathcal{F}}underline{omega}^k = (underbrace{0,0,...,0,N}_{k entries},0,...,0) = Nunderline{delta_k}$

DFT矩阵

1. DFT矩阵的定义

令$omega = e^{2pi ifrac{1}{N}}$，请注意，这里的$omega$没有下划线，并不是离散信号。则有

$omega^{-mn} = e^{-2pi ifrac{mn}{N}}$

DFT的变换式可以写成

$underline{mathcal{F}}underline{f}[m] = displaystyle{ sum_{n=0}^{N-1}omega^{-mn} underline{f}[n]}$

如此一来，上式呈现了一种新的表述，即对离散信号$underline{f}$进行DFT就相当于用$underline{f}$与矩阵$left( omega^{-} ight)^{mn}$相乘，$mn$为该矩阵的$m$行$n$列

$egin{pmatrix}
1 &1  &1  &...  &1 \
1 &omega^{-1}  &omega^{-2}  &...  &omega^{-(N-1)} \
1 &omega^{-2}  &omega^{-4}  &...  &omega^{-2(N-1)} \
vdots  &vdots  &vdots  &...  & vdots\
1 &omega^{-(N-1)}  &omega^{-2(N-1)}  &...  &omega^{-(N-1)^2}
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
underline{f}[0]\
underline{f}[1]\
underline{f}[2]\
vdots\
underline{f}[N-1]
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
underline{mathcal{F}}underline{f}[0]\
underline{mathcal{F}}underline{f}[1]\
underline{mathcal{F}}underline{f}[2]\
vdots\
underline{mathcal{F}}underline{f}[N-1]
end{pmatrix}$

上述式子左边的矩阵就是DFT矩阵，DFT矩阵是一个$N imes N$的矩阵，可以用下面的式子表达

$(mathcal{F})_{nm} = omega^{-nm}$

2. DFT矩阵的共轭转置

对DFT矩阵$mathcal{F}$进行共轭转置，即

$(mathcal{F}^{*})_{nm} = overline{(underline{mathcal{F}})_{mn}} = overline{omega^{-mn}} = omega^{mn}$

DFT矩阵与它的共轭转置矩阵相乘，有

$underline{mathcal{F}}underline{mathcal{F}}^{*} =
egin{pmatrix}
1 &1  &1  &...  &1 \
1 &omega^{-1}  &omega^{-2}  &...  &omega^{-(N-1)} \
1 &omega^{-2}  &omega^{-4}  &...  &omega^{-2(N-1)} \
vdots  &vdots  &vdots  &...  & vdots\
1 &omega^{-(N-1)}  &omega^{-2(N-1)}  &...  &omega^{-(N-1)^2}
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 &1  &1  &...  &1 \
1 &omega^{1}  &omega^{2}  &...  &omega^{(N-1)} \
1 &omega^{2}  &omega^{4}  &...  &omega^{2(N-1)} \
vdots  &vdots  &vdots  &...  & vdots\
1 &omega^{(N-1)}  &omega^{2(N-1)}  &...  &omega^{(N-1)^2}
end{pmatrix}$

$=
egin{pmatrix}
underline{omega}^0cdotunderline{omega}^0 &underline{omega}^1cdotunderline{omega}^0  &underline{omega}^2cdotunderline{omega}^0  &...  &underline{omega}^{N-1}cdotunderline{omega}^0 \
underline{omega}^0cdotunderline{omega}^1 &underline{omega}^1cdotunderline{omega}^1  &underline{omega}^2cdotunderline{omega}^1  &...  &underline{omega}^{N-1}cdotunderline{omega}^1 \
underline{omega}^0cdotunderline{omega}^2 &underline{omega}^1cdotunderline{omega}^2  &underline{omega}^2cdotunderline{omega}^2  &...  &underline{omega}^{N-1}cdotunderline{omega}^2 \
vdots  &vdots  &vdots  &...  & vdots\
underline{omega}^0cdotunderline{omega}^{N-1} &underline{omega}^1cdotunderline{omega}^{N-1}  &underline{omega}^2cdotunderline{omega}^{N-1}  &...  &underline{omega}^{N-1}cdotunderline{omega}^{N-1} \
end{pmatrix}qquadqquadqquadqquad$

$=egin{pmatrix}
N &0  &0  &...  &0 \
0 &N  &0  &...  &0 \
0 &0  &N  &...  &0 \
vdots &vdots  &vdots  &...  &vdots \
0 &0  &0  &...  &N
end{pmatrix}  qquad left(
underline{omega}^lcdotunderline{omega}^k = egin{cases}
0 & ext{ , } k eq l \
N & ext{ , } k= l
end{cases}
ight)qquadqquadqquadqquad$

$= NI qquad (I is N imes N identity matrix)qquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquadqquad$

因此

$underline{mathcal{F}}underline{mathcal{F}}^{*} = NI$

同理可得

$underline{mathcal{F}}^{*}underline{mathcal{F}} = NI$

3. IDFT矩阵

通过上述转置矩阵的运算结果结果，可以得到IDFT矩阵为

$underline{mathcal{F}}^{-1} = frac{1}{N}underline{mathcal{F}}^{*}$

即

$left( underline{mathcal{F}}^{-1} ight)_{mn} = frac{1}{N}omega^{mn}$

这个结果同样也能运用推导DFT矩阵的过程得出。

4. DFT矩阵运算复杂度

运算复杂度这里是值矩阵运算中乘法运算的数目，$underline{mathcal{F}}underline{f}$的每一项运算会花费$N$个乘法运算，其中共有$N$项，即运算复杂度为$N imes N$，用$O(N^2)$表示。

FFT算法的目的就是为了减少DFT的运算复杂度，FFT的复杂度为$O(NlogN)$。

DFT特性

我们上节课遗留下来了，关于DFT特性的讨论：输入和输出都是周期为$N$的周期离散函数。得出这个结论是因为离散复指数具有周期性。

1. 输入与输出离散信号周期性的证明

证明过程如下：

$underline{omega}[m] = e^{2pi i frac{m}{N}}$

$underline{omega}[m+N] = e^{2pi ifrac{m+N}{N}} = e^{2pi ifrac{m}{N}}cdot e^{2pi i}=e^{2pi ifrac{m}{N}} = underline{omega}[m]$

同理

$underline{omega}^{n}[m] = underline{omega}^n[m+N] qquad underline{omega}^{-n}[m] = underline{omega}^{-n}[m+N]$

即$underline{omega},underline{omega}^n,underline{omega}^{-n}$都是周期为$N$的离散复指数信号。

由上述结论推广到DFT

$underline{mathcal{F}}underline{f}[m+N] = displaystyle{sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{omega}^{-n}[m+N]= sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{omega}^{-n}[m]} = underline{mathcal{F}}underline{f}[m]$

因此$underline{mathcal{F}}underline{f}[m+N] = underline{mathcal{F}}underline{f}[m]$，表明了对离散信号$underline{f}$进行DFT后会得到周期为$N$的离散信号。

同理，推广到IDFT

$underline{mathcal{F}}^{-1}underline{f}[m+N] = frac{1}{N}displaystyle{sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{omega}^{n}[m+N]= frac{1}{N}sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{omega}^{-n}[m]} = underline{mathcal{F}}^{-1}underline{f}[m]$

因此$underline{mathcal{F}}^{-1}underline{f}[m+N] = underline{mathcal{F}}^{-1}underline{f}[m]$，表明了对离散信号$underline{f}$进行IDFT会得到周期为$N$的离散信号。

这种周期为$N$的特性是由$underline{omega}$的周期性决定的。对某离散信号$underline{f}$进行DFT，会得到周期为$N$的离散信号$underline{mathcal{F}}underline{f}$，然后对$underline{mathcal{F}}underline{f}$进行IDFT，即$underline{mathcal{F}}^{-1}underline{mathcal{F}}underline{f}$，也会得到周期为$N$的离散信号$underline{f}$，这表明了原始信号$underline{f}$也是周期为$N$的离散信号。

因此有结论如下：

• 进行DFT的输入离散信号$underline{f}$与输出离散信号$underline{mathcal{F}}underline{f}$都是周期为$N$（$N$项）的周期信号；同理进行IDFT的输入离散信号$underline{F}$与输出离散信号$underline{mathcal{F}}^{-1}underline{F}$都是周期为$N$（$N$项）的周期信号。

在实际应用中，通常我们采集到的离散信号都不是周期为$N$的信号，甚至不具有周期性，但是在进行DFT分析时，都是从采集到的信号中取一部分出来，这部分就会被看作是周期信号中的一个周期，它进行DFT后会产生的也是周期信号。

索引的独立性

周期性可以说是限制，因为我们需要用周期信号来看待将被进行DFT、IDFT的离散信号，但是这个特性也带来了简单有益的结论：索引的独立性（independence of indexing）。

由于$underline{f}$与$underline{omega}$都具有周期性，因此在计算DFT时可以采用任意连续$N$个采样，即

$underline{mathcal{F}}underline{f} = displaystyle{ sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{omega}^{-n} = sum_{n=1}^{N}underline{f}[n]underline{omega}^{-n} }$

我们也可以把零点放置取样值的中间，即

当$N$为奇数时

$underline{mathcal{F}}underline{f} = displaystyle{ sum_{n=-frac{N-1}{2}}^{frac{N-1}{2}}underline{f}[n]underline{omega}^{-n} }$

当$N$为偶数时

$underline{mathcal{F}}underline{f} = displaystyle{ sum_{n=-frac{N}{2}+1}^{frac{N}{2}}underline{f}[n]underline{omega}^{-n} }$

不同的软件，不同的实现对下标（索引）的表达可能会不同，因此我们需要了解通过这小节了解下标（索引）的独立性。

离散信号的反转及其DFT的对偶性

1. 离散信号反转的定义

在讨论连续信号的反转的时候，连续信号$f(x)$的反转为$f^-(x) = f(-x)$，而这里离散信号的反转被定义为$underline{f}^{-}[m] = underline{f}[-m]$，也就是说，如果有离散信号

$underline{f} = left( underline{f}[0],underline{f}[1],underline{f}[2],…,underline{f}[N-1] ight)$

它的反转为

$underline{f}^- = left( underline{f}[0],underline{f}[-1],underline{f}[-2],…,underline{f}[-(N-1)] ight)$

离散复指数$underline{omega}$的反转为

$underline{omega}^- = left( 1,e^{-2pi ifrac{1}{N}},e^{-2pi ifrac{2}{N}},…,e^{-2pi ifrac{N-1}{N}} ight) = underline{omega}^{-1}$

同理有

$left( underline{omega}^n ight)^- = underline{omega}^{-n} qquad left( underline{omega}^{-n} ight)^- = underline{omega}^{n}$

2. DFT对偶性讨论

对离散信号$underline{f}$的反转$underline{f}^-$进行DFT

$egin{align*}
underline{mathcal{F}}underline{f}^-
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}^-[n]underline{omega}^{-n}\
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[-n]underline{omega}^{-n} qquad (definition of reversed signal)\
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[N-n]underline{omega}^{-n} qquad (underline{f} is period of N)\
&=sum_{l=N}^1underline{f}[l]underline{omega}^{l-N} qquad (letting l=N-n)\
&=sum_{l=N}^1underline{f}[l]underline{omega}^l qquad(underline{omega} is period of N)\
&=sum_{l=0}^{N-1}underline{f}[l]underline{omega}^l qquad(independence of indexing)\
&=sum_{l=0}^{N-1}underline{f}[l](underline{omega}^{-l})^-\
&=left( sum_{l=0}^{N-1}underline{f}[l]underline{omega}^{-l} ight )^- qquad left( sum_{l=0}^{N-1}underline{f}[l](underline{omega}^{-l})^-[m] =sum_{l=0}^{N-1}underline{f}[l](underline{omega}^{-l})[-m] the definition of reversed signal ight)\
&=left(underline{mathcal{F}}underline{f} ight )^-
end{align*}$

因此

$underline{mathcal{F}}underline{f}^- = left( underline{mathcal{F}}underline{f} ight)^-$

对离散信号连续进行两次DFT

$egin{align*}underline{mathcal{F}}underline{mathcal{F}}underline{f}&=sum_{k=0}^{N-1}left(sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{omega}^{-n}[k] ight)underline{omega}^{-k}\
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]left(sum_{k=0}^{N-1}underline{omega}^{-n}[k]underline{omega}^{-k} ight)\
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]left(underline{mathcal{F}}underline{omega}^{-n} ight)\
&=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]cdot Nunderline{delta_{-n}}\
&=Nsum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_{-n}}\
&=Nsum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]left(underline{delta_n} ight)^-\
&=Nleft(sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n} ight)^-qquadleft(sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n](underline{delta_n})^-[m]=sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[-m] ight)\
&=Nleft(sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[0],sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[1],...,sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[N-1] ight)^-
end{align*}$

我们来分析一下$displaystyle{sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[0]}$，其中$underline{delta_n}[m]=egin{cases} 1 & ext{ , } m=n \ 0 & ext{ , } m eq n end{cases}$，因此

$egin{align*}underline{mathcal{F}}underline{mathcal{F}}underline{f}
&=Nleft(sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[0],sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[1],...,sum_{n=0}^{N-1}underline{f}[n]underline{delta_n}[N-1] ight)^-\
&=Nleft(underline{f}[0],underline{f}[1],...,underline{f}[N-1] ight )^-\
&=Nunderline{f}^-
end{align*}$

最终得

$underline{mathcal{F}}underline{mathcal{F}}underline{f} = Nunderline{f}^-$