[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十八. 高维移位定理

高维傅里叶变换的移位定理

在一维傅里叶变换的移位定理时，有

$f(t) quad leftrightarrow quad F(s)$

$f(t-b) quad leftrightarrow quad e^{-2pi isb}F(s)$

在二维傅里叶变换的移位定理时，有两个变量，可分别对它们进行移位，

$f(x_1,x_2) quad leftrightarrow quad F(xi_1,xi_2)$

$f(x_1-b_1,x_2-b_2) quad leftrightarrow quad ?$

二维的移位对应的傅里叶变换是什么呢？下面进行计算

$egin{align*}
&quad int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i(x_1xi_1+x_2xi_2)}f(x_1-b_1,x_2-b_2)dx_1dx_2\
&=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i((u_1+b_1)xi_1+(u_2+b_2)xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2 qquad letting u_1=x_1-b_1,u_2=x_2-b_2\
&=int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i(b_1xi_1+b_2xi_2)}e^{-2pi i(u_1xi_1+u_2xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\
&=e^{-2pi i(b_1xi_1+b_2xi_2)}int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty}e^{-2pi i(u_1xi_1+u_2xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\
&=e^{-2pi i(b_1xi_1+b_2xi_2)}F(xi_1,xi_2)
end{align*}$

即二维移位定理可以表示为

$f(x_1-b_1,x_2-b_2) quad leftrightarrow quad e^{-2pi i(b_1xi_1+b_2xi_2)}F(xi_1,xi_2)$

表示成向量形式

$f(underline{x}) quad leftrightarrow quad F(underline{xi})$

$f(underline{x}-underline{b}) quad leftrightarrow quad e^{-2pi iunderline{xi}cdot underline{b}}F(underline{xi})$

这个向量形式也可以推广到n维傅里叶变换的移位定理。

高维傅里叶变换缩放定理

独立变量缩放

在一维傅里叶变换的缩放定理时，有

$f(t) quad leftrightarrow quad F(s)$

$f(at) quad leftrightarrow quad frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$

通过这个式子，我们知道时域与频域的缩放是互反的，不可能在时域与频域上同时压缩或同时扩展。

在二维傅里叶变换的缩放定理时，有

$f(x_1,x_2) quad leftrightarrow quad F(xi_1,xi_2)$

$f(a_1x_1,a_2x_2) quad leftrightarrow quad frac{1}{|a_1||a_2|}Fleft(frac{xi_1}{a_1},frac{xi_2}{a_2} ight)$

在二维傅里叶变换的公式中通过变量替换就能得到上述结果，这里不进行具体的推导。

混合变量缩放（矩阵乘法）

不过缩放并不限于$x_1 ightarrow a_1x_1,x_2 ightarrow a_2x_2$这种各个变量独立缩放的形式，更一般的情况会表示为矩阵的乘法，即

$egin{bmatrix}
x_1\
x_2
end{bmatrix}
ightarrow
egin{bmatrix}
a &b \
c &d
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
x_1\
x_2
end{bmatrix}
=egin{bmatrix}
ax_1+bx_2\
cx_1+dx_2
end{bmatrix}$

这种缩放也可以推广到n维傅里叶变换。

用向量形式来表示

$underline{x} ightarrow Aunderline{x}$

$f(underline{x}) ightarrow f(Aunderline{x})$

需要注意的是，这里的矩阵$A$是非奇异的，即不能使得$underline{x}$降阶（不能消去$underline{x}$中的某一项）.

它的傅里叶变换为

$egin{align*}
mathcal{F}(f(Aunderline{x}))
&=int_{mathbb{R}^n}e^{-2pi i(underline{x}cdotunderline{xi})}f(Aunderline{x})dunderline{x}\
&=int_{mathbb{R}^n}e^{-2pi i(A^{-1}underline{u}cdotunderline{xi})}f(underline{u})d(A^{-1}underline{u}) qquad letting underline{u}=Aunderline{x}\
&=int_{mathbb{R}^n}e^{-2pi i(underline{u}cdot (A^{-1})^Tunderline{xi})}f(underline{u})frac{1}{|detA|}dunderline{u} qquad please review linear algebra\
&=int_{mathbb{R}^n}e^{-2pi i(underline{u}cdot A^{-T}underline{xi})}f(underline{u})frac{1}{|detA|}dunderline{u} qquad letting A^{-T}=(A^{-1})^T\
&=frac{1}{|detA|}int_{mathbb{R}^n}e^{-2pi i(underline{u}cdot A^{-T}underline{xi})}f(underline{u})dunderline{u}\
&=frac{1}{|detA|}mathcal{F}f(A^{-T}underline{xi})
end{align*}$

即

$f(underline{x}) quad leftrightarrow quad F(underline{xi})$

$f(Aunderline{x}) quad leftrightarrowquad frac{1}{|detA|}F(A^{-T}underline{xi})$

在一维傅里叶变换的缩放定理时，只有一个变量，因此我们用倒数就能表达出时域与频域间的缩放关系，但是在高维傅里叶变换，有多个变量，因此缩放就变得更为自由，我们为了表示高维的缩放引入了矩阵，傅里叶的缩放关系也从倒数变成了矩阵的逆转置$A^{-T}$。

下面是关于高维傅里叶缩放定理的两个例子

例一

我们前面所说到的独立变量的缩放

$f(a_1x_1,a_2x_2) = f(Aunderline{x})$

其中$A=egin{bmatrix}a_1 &0 \ 0 &a_2 end{bmatrix}$

$f(Aunderline{x})quad leftrightarrowquad frac{1}{|detA|}F(A^{-T}underline{xi}) = frac{1}{|a_1a_2-0|}Fleft(egin{bmatrix}frac{1}{a_1} &0 \ 0 &frac{1}{a_2} end{bmatrix}egin{bmatrix}xi_1 \ xi_2 end{bmatrix} ight) = frac{1}{|a_1||a_2|}Fleft(frac{xi_1}{a_1},frac{xi_2}{a_2} ight)$

例二

矩阵为$A=egin{bmatrix}
cos heta &-sin heta \
sin heta &cos heta
end{bmatrix}$，那么$Aunderline{x}=egin{bmatrix}x_1cos heta-x_2sin heta \ x_1sin heta+x_2cos heta end{bmatrix}$

假设原始的变量为$(x_1,x_2)$，用矩阵$A$进行缩放后的变量为$(x_1',x_2')$，引入极坐标系，他们间有如下关系

$x_1=rcosvarphi qquad x_2=rsinvarphi$

$egin{align*}
x_1'&=x_1cos heta-x_2sin heta\
&=rcosvarphi cos heta-rsinvarphi sin heta\
&=rcos(varphi+ heta)
end{align*}$
$egin{align*}
x_2'&=x_1sin heta+x_2cos heta\
&=rcosvarphi sin heta+rsinvarphi cos heta\
&=rsin(varphi+ heta)
end{align*}$

那么这个矩阵就代表了$f(x_1,x_2)$在空域的$x_1,x_2$平面上进行了角度为$ heta$的旋转。

它的傅里叶变换为

$egin{align*}
&quad frac{1}{|detA|}F(A^{-T}underline{xi})\
&=frac{1}{|cos heta cos heta-(-sin heta)sin heta|}F((A^{-1})^Tunderline{xi})\
&=F((A^T)^Tunderline{xi}) qquad AA^T=egin{bmatrix}cos heta &-sin heta\ sin heta &cos heta end{bmatrix}egin{bmatrix}cos heta &sin heta\ -sin heta &cos heta end{bmatrix}=egin{bmatrix}1&0\0 &1 end{bmatrix}=I Rightarrow A^{T}=A^{-1} \
&=F(Aunderline{xi})
end{align*}$

即，当$A=egin{bmatrix}
cos heta &-sin heta \
sin heta &cos heta
end{bmatrix}$，有

$f(Aunderline{x}) quad leftrightarrow quad F(Aunderline{xi})$

这表明空间坐标系旋转对应着频率坐标系的相同角度的旋转。

从二维图像上去思考的话，$f(Aunderline{x})$相当于一幅被旋转了的图像，$F(Aunderline{xi})$就是该图像的频谱进行了相应的旋转而已，并没有本质上的改变。

高维$delta$函数

高维$delta$函数与一维的$delta$函数有着相同性质

$<delta,varphi> = varphi(underline{0}) = varphi(underbrace{0,0,…,0}_n)$

移位的脉冲函数$delta_{underline{b}} = delta(underline{x}-underline{b})$

$<delta_{underline{b}},varphi> = varphi(underline{b}) = varphi(b_1,b_2,…,b_n)$

傅里叶变换

$mathcal{F}delta = 1$

$mathcal{F}delta_{underline{b}} = e^{-2pi i(underline{b}cdot underline{xi})}$

$delta$的取样特性

$fdelta = f(underline{0})delta$

$fdelta_{underline{b}} = f(underline{b})delta_{underline{b}}$

$delta$的缩放特性

我们以前讲过一维的情况

一维：

$delta(ax) = frac{1}{|a|}delta(x)$

n维：

$delta(Aunderline{x}) = frac{1}{|detA|}delta(underline{x})$