二阶线性差分方程中的根/特征值的讨论

二阶线性差分方程的齐次解/通解

以下面的二阶线性差分方程为例

$ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$

我们在求该差分方程的齐次解（通解）时，会令等式右边等于0，得到二阶齐次线性差分方程：

$ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = 0$

并假设

$y_t = Aomega^t$

把该假设代入上面齐次方程，整理后得到：

$aomega^2+bomega+c = 0$

这个一元二次方程的根为

$omega = frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$

二阶线性差分方程中的根

$omega$是该方程的根（characteristic root），又称为该方程的特征值（eigen value）。此时$omega$可以分成三种情况讨论。

$b^2-4ac >0 $

此时$omega$分别为两个不相同的实数

差分方程的齐次解为：

$y_h(t) = A_1omega_1^t+A_2omega_2^t$

$b^2-4ac = 0$

此时$omega$为重根

差分方程的齐次解为：

$y_h(t) = (A_1n+A_2)omega^t$

$b^2-4ac <0$

此时$omega$分别为两个共轭复数

$omega = -frac{b}{2a} pm frac{sqrt{b^2-4ac}}{2a} = hpm iv$

即有：

$left{egin{matrix}
h &= &-frac{b}{2a} \
v &= &frac{sqrt{4ac-b^2}}{2a}
end{matrix} ight.$

差分方程的齐次解为：

$y_h(t) = A_1(h+iv)^t + A_2(h-iv)^t$

该共轭的根还可以从极坐标方面进行讨论

$hpm iv = R(cos heta pm isin heta)$

其中

$R = sqrt{h^2+v^2} = sqrt{left| frac{c}{a} ight|}$

即R是一个固定的实数。

差分方程的齐次解为

$egin{align*}
y_h(t)
&= A_1R^t(cos heta + isin heta)^t + A_2R^t(cos heta-isin heta)^t \
&= A_1R^t(cos heta t+isin heta t)+A_2R^t(cos heta t-isin heta t)  qquad de Moivre's theorem\
&=left|frac{c}{a} ight|^{frac{t}{2}}(A_1(cos heta t+isin heta t)+A_2(cos heta t-isin heta t)) \
&=left|frac{c}{a} ight|^{frac{t}{2}}(B_1cos heta t+B_2sin heta t) qquad left{egin{matrix}
B_1 &= A_1+A_2\
B_2 &= (A_1-A_2)i
end{matrix} ight.
end{align*}$